Beobachter und Reglerentwurf mittels Quotienten-Signalmoduln

Das Projekt ist dem Entwurf und der Parametrisierung von systemtheoretischen Beobachtern und stabilisierenden Kompensatoren gewidmet, und zwar sowohl für ein- wie mehrdimensionale und für kontinuierliche wie diskrete Systeme, und ist auf zwei Jahre ausgelegt. Mitarbeiter des Projektes sind Dipl.-Ing. Ingrid Blumthaler, Dipl.-Ing. Dr. Martin Scheicher und Professor emer. Dr. Ulrich Oberst. Die geplante Forschung über Beobachter vervollständigt Blumthalers kürzliche Arbeit über funktionelle Beobachter in Hinblick auf Spektralvorgabe, Robustheit und Minimalität und verallgemeinert sie vor allem auf den mehrdimensionalen Fall. In unserem neuen Rahmen des Kompensatorentwurfs sind das gegebene System und sein stabilisierender Kompensator verallgemeinerte Eingabe/Ausgabe-Systeme, die parziell zusammengeschaltet werden und das wohl definierte oder reguläre volle Kontrollsystem bilden. Dieses ist ein stabiles Eingabe/Ausgabe-System, und seine Transfermatrix oder deren Untermatrizen realisieren gewünschte Aufgaben wie Signalnachführung (tracking), Rauschunterdrückung (disturbance rejection), Signalanpassung (model matching), Entkoppplung (decoupling) u.a. Die Existenz und die Parametrisie-rung solcher stabilisierenden Kompensatoren sollen untersucht werden. Dieses Modell verallgemeinert das übliche Rückkopplungsmodell mit sogenannten Zwei-Parameter-Kompensatoren und verwendet Willems` Idee der Kontrolle durch Zusammenschaltung, unterscheidet sich aber wesentlich von dem Kontrollmodell von Willems, Trentelman u.a. Wie diese beschreiben auch wir ein System als Behavior, d.h. als Lösungsmodul eines linearen Systems von (parziellen) Differenzial- oder Differenzenglei-chungen mit konstanten Koeffizienten. Wir verwenden wesentlich die kategorielle Dualität zwischen polynomialen Moduln und Behaviors und eine neue mathematische Technik, nämlich der Quotientensignalmoduln, welche selbst injektive Cogeneratoren sind, im eindimensionalen Fall und der Gabriellokalisierung als ihr Gegenstück im mehrdimensionalen. Die neue Technik erlaubt insbesondere die gleichzeitige Behandlung verschiedener Stabilitätsbegriffe. Wir werden das volle Kontrollsystem als Behavior und insbesondere seinen autonomen Anteil untersuchen und nicht nur dessen Transfermatrix oder ein induziertes manifestes kontrolliertes Behavior wie im größten Teil der Literatur. Wir erwarten, dass die neue Technik auch in den eindimensionalen Standardfällen deutlich vereinfachte Beweise und neue schärfere Resultate zeitigen wird, was durch Blumthalers erfolgreiche Anwendung dieser Methode zur Konstruktion und Parametrisierung eindimensionaler funktioneller Beobachter nahegelegt wird. Blumthalers Arbeit über Beobachter verallgemeinerte und verschärfte frühere Arbeiten von Wolovich, Valcher, Willems, Fuhrmann u.a. über Beobachter in der Sprache der Behaviors und behandelte insbesondere alle Typen von Beobachtern gleichzeitig. Die Bedeutung unserer neuen Resultate für die Standardfälle wird eingehend dargelegt werden. Während der Entwurf und die Parametrisierung von eindimensionalen Beobachtern und stabilisierenden Kompensatoren zu den wichtigsten Gebieten der Systemtheorie und Ingenieurmathematik gehören und deshalb von vielen prominenten Forschern untersucht worden sind, sind die multidimensionalen Erweiterungen, die fortgeschrittenere mathematische Methoden aus Algebra und Analysis erfordern, noch nicht in so großem Umfang studiert worden. Zweidimensionale Beobachter, hauptsächlich für Zustandssysteme nach Fornasini/Marchesini und Roesser und des "dead-beat"-Typs, wurden in einer Reihe neuerer Arbeiten von Bisiacco und Valcher behandelt. Stabilisierende Kompensatoren für mehrdimensionale diskrete Systeme, welche als Faltung mit eigentlichen rationalen Matrizen definiert werden, wurden seit etwa dreißig Jahren von mehreren Autoren untersucht, die ersten diesbezüglichen Publikationen stammen von Bose. Das Problem des Tracking und der Rauschunterdrückung in diesem Rahmen ist Gegenstand einer neuen Arbeit von L. Xu.

Die Hauptziele des Projektes waren die Konstruktion und Parametrisierung von Beobachtern und Reglern von multidimensionalen Systemen und wurden weitgehend erreicht. Ein Beobachter eines Systems ist ein weiteres System, das gewisse gemessene Komponenten (abhängige Variablen) des Primärsystems verwendet, um andere Komponenten zu approximieren (zu schätzen), welche zur Steuerung des Primärsystems benötigt werden. Ein stabilisierender Regler ist ein zweites System, das mit dem Primärsystem so verbunden wird, dass das Gesamtsystem stabil ist und gewünschte Aufgaben erledigt, z.B. einem Referenzsignal zu folgen. Die betrachteten Systeme sind ein- bzw. mehrdimensional, wenn die Signale Funktionen nur einer bzw. mehrerer unabhängiger Variablen sind, z.B. von Zeit- und Ortskoordinaten. Die Systeme werden als kontinuierlich (analog) bzw. als diskret (digital) bezeichnet, wenn die unabhängigen Variablen reell bzw. ganzzahlig sind. Ein Computer ist z.B. ein diskretes eindimensionales System, während Bildverarbeitung mit wenigstens zweidimensionalen, analogen oder digitalen Signalen arbeitet. Das Hauptinteresse unserer Arbeit galt diskreten mehrdimensionalen Systemen. Die Approximation eines Signals durch ein anderes bedeutet, dass das Differenzsignal in einem geeigneten Sinn stabil (klein, vernachlässigbar) ist. Daher war ein wesentlicher Teil des Projektes der mehrdimensionalen Stabilitätstheorie gewidmet.Der Entwurf stabilisierender Regler für eindimensionale Systeme gehört zu den wichtigsten und schwierigsten Aufgaben der Steuerungstheorie und wurde daher von zahlreichen prominenten Ingenieuren behandelt und in bekannten Lehrbüchern dargestellt.Trotz der hervorragenden Ergebnisse unserer Vorgänger ermöglicht unsere Lokalisierungstechnik neue Resultate und Beweise auch im eindimensionalen Fall. Für mehrdimensionale Systeme sind sowohl der technische wie der theoretische Aspekt weniger entwickelt. Die Theorie macht neue und schwierigere mathematische Methoden nötig. Signalmoduln, welche injektive Cogeneratoren sind, Serre-Kategorien von stabilen Moduln und Systemen und die zugehörige Gabriellokalisierung sind solche weitergehenden mathematischen Hilfsmittel.