Frames und harmonische Analyse

Das wissenschaftliche Ziel dieses Antrags ist die Untersuchung von mathematischen Problemen im Bereich von Frametheorie und harmonischer Analyse. Die Probleme und Ideen für dieses Projekt sind während der Arbeit im "Europäischen Zentrum für Zeit-Frequenz-Analyse" an der Universität Wien entstanden. Im Zentrum der Forschung wird der Begriff der spektralen Teilalgebra einer Banachalgebra und deren Anwendungen in Frametheorie stehen. Die Forschung im Rahmen dieses Projekts setzt sich folgende Ziele: a) Finde und untersuche systematische Konstruktionen von spektralen Teilalgebren einer gegebenen Banachalgebra. b) Untersuche Algebren von unendlichen Matrizen mit Abklingverhalten von der Diagonale und die Eigenschaften der inversen Matrizen. c) Untersuche abstrakte Frames über nichtkommutativen diskreten Gruppen und erweitere die Dichtheitstheorie von Balan, Casazza, Heil und Landau auf nichtkommutative Indexmengen. d) Arbeit an mehreren immer noch offenen Problemen über Gaborframes und in der Zeit-Frequenz-Analyse. Diesen Forschungsthemen ist der Begriff der spektralen Teilalgebren gemeinsam. Dieses Projekt ist motiviert durch die vielen Anwendungen von spektralen Matrixalgebren und Operatoralgebren in der Zeit-Frequenz-Analyse, wo damit konkrete Probleme in der Signalverarbeitung und in der drahtlosen Kommunikation gelöst werden konnten. Spektrale Teilalgebren sind so nützlich, dass wir sie nunmehr als wesentliches und für sich selbst interessantes Forschungsobjekt untersuchen wollen. Viele neue Fragestellungen und Ideen rechtfertigen ein Projekt in größerem Rahmen, das ganz der Erforschung von spektralen Teilalgebren sowie deren Anwendungen in der Frametheorie und in der harmonischen Analyse gewidmet sein sollen. Darüber hinaus sind die obigen Themen eng mit anderen Gebieten, wie der Funktionentheorie, der nichtkommutativen harmonischen Analyse und der Operatortheorie verbunden. Ein ebenso wichtiges Ziel dieses Antrags ist die Fortsetzung des ``Europäischen Zentrums für Zeit-Frequenz- Analyse`` an der Universität Wien (EUCETIFA). Das Zentrum wurde mit Hilfe einer Marie-Curie-Exzellenz Förderung im 6. Rahmenprogramm der Europäischen Union gegründet und war mit einem Gesamtbudget von 1,8 Millionen Euro für vier Jahre ausgestattet. Mit dieser Förderung wurde eine moderne und sehr erfolgreiche Forschungsgruppe aufgebaut, die auf dem Gebiet der Zeit-Frequenz-Analyse, einem Teilbereich der harmonischen Analyse, arbeitet. Mit einer internationalen Forschergruppe hat das ``Europäischen Zentrum für Zeit-Frequenz- Analyse`` hohe Sichtbarkeit und internationale Anerkennung erworben. Das neue Projekt wird auf den Errungenschaften und Ideen von EUCETIFA aufbauen. Die Forschungsgruppe soll aus zwei Postdocs und einem / einer DissertantIn bestehen. Mit dieser Minimalgröße soll die Arbeit von EUCETIFA auf demselben hohen Niveau und mit internationaler Sichtbarkeit weitergeführt werden können.

Dieses Projekt war der mathematischen Grundlagenforschung auf dem Gebiet der harmonischen Analyse und Frame-Theorie gewidmet. Frames liefern redundante Darstellungen von Funktionen oder Signalen. Eine grundlegende Frage der Frame-Theorie ist es, die Redundanz zu quantifizieren. In der mathematischen Theorie wird dazu ein abstrakter Dichtheitsbegriff eingeführt, und die Redundanz wird dann mit Hilfe der Dichte der zugrundeliegenden Indexmenge (d.h. der Positionen der Frame-Elemente) gemessen. Bisher war eine solche Theorie nur für Frames über Index- mengen in einem Euklidschen Raum bekannt. In diesem Projekt wurde eine entsprechende Dichtetheorie für Frames über nilpotenten Gruppen entwickelt, wo Abstände bezüglich anderer Geometrien gemessen werden. Als Anwendung wurden Dichteabschätzungen von Abtastmengen in shift-invarianten Räumen auf nilpotenten Gruppen erzielt. Die zweite Stoffrichtung des Projekts betraf die Untersuchung von ungelösten Problemen über Gabor-Frames. Diese werden durch Verschiebungen und Modulationen einer einzigen Funktion, auch Fensterfunktion oder Puls genannt, erzeugt. Gabor-Frames werden häufig in der Sprachverarbeitung und in der drahtlosen Kommunikation verwendet. Ihre Geschichte geht zurück auf John von Neumanns Grundlagen der Quantenmechanik und Dennis Gabors Beiträge zur Informationstheorie. Trotz der vielen Anwendungen von Gabor-Frames waren bis 2011 nur genau sechs (= 6) Funktionen bekannt, für die alle Gitterparameter, die einen Gabor- Frame erzeugen, bekannt. In diesem Projekt wurde für die überabzählbare Klasse der total positiven Funktionen von endlichem Typ eine solche vollständige Charakterisierung erzielt. Dieser Durchbruch ist relevant für viele Anwendungen der Zeit-Frequenz-Analyse, da er den Anwendern eine neue, große Klasse von Pulsformen mit exponentiellem Abklingen anbietet, für die die Frame-Eigenschaft für alle Gitterparameter leicht zu entscheiden ist.Ein drittes Thema war die Untersuchung der Qualität von Lösungen von abstrakten Operatorgleichungen. Dabei versucht man zu verstehen, wann die Lösung einer linearen Gleichung in einem unendlich dimensionalen Raum qualitative Eigenschaften wie Glattheit oder Abklingverhalten von der Inputfunktion erbt. In diesem Projekt wurde diese Frage im Kontext der harmonischen Analyse und der Konstruktion von invers-abgeschlossenen Teilalgebren mit Normkontrolle behandelt.Die Resultate des Projekts wurden in führenden Forschungszeitschriften sowohl in reiner als auch angewandter Mathematik publiziert.