Dynamische Diophantische Approximation II

Das vorliegende Projekt beschäftigt sich mit Fragen der Geometrie der Zahlen und der Diophantischen Approximation und verstehet sich als Fortsetzung des Projekts "Dynamische diophantische Aprroximation". Bei vielen Anwendungen der Geometrie der Zahlen zur Approximation reeller Zahlen durch rationale spielt in einem geeignet gewählten Gitter Minkowskis zweiter Gitterpunktsatz eine wesentliche Rolle. In diesem Gitter betrachtet man dann eine Familie von konvexen Körpern, die von einem Parameter ahängen, sodass die bezüglich dieser Körper und bezüglich des Gitters definierten sukzessiven Minima als Funktionen dieses Parameters angesehen werden können. Ein Grossteil der Information über die simultane Approximierbarkeit der reellen Zahlen, die das Gitter definieren, spiegelt sich im Verhalten dieser Funktionen wider. Es ist also naheliegend, die Geometrie der Zahlen speziell im Hinblick auf einparameter Familien konvexer Körper zu untersuchen, das heisst, "dynamische Geometrie der Zahlen" zu betreiben. Eine dahingehende Theorie sollte insbesondere in der Lage sein, Aufschluss über das individuelle und simultane Verhalten einer Menge von sukzessiven Minima bezüglich der gegebenen Familie von Körpern zu geben. Dies ist im Rahmen des Vorgängerprojekts für den dreidimensionalen Fall gut gelungen und vieles deutet darauf hin, dass eine Verallgemeinerung auf n Dimensionen möglich ist und neue Erkenntnisse hinsichtlich der simultanen Approximierbarkeit reeller Zahlen liefern wird. In diese Richtung gehen auch die Empfehlungen der Gutachter des Endberichts zum Vorprojekt. Spezielle dahingehende Fragestellungen werden im folgenden Projektantrag näher erläutert. Solch eine dynamische Theorie ist im Hinblick auf zahlreiche Anwendungen auf die Diophantische Approximation von grossem Interesse, darüberhinaus besteht die berechtigte Hoffnung, dass ein gutes Verständnis von einparameter Problemen auch neue Impulse für die Behandlung von zweiparameter Familien konvexer Körper liefert, die in Zusammenhang mit der Littlewood Vermutung wesentlich sind.

Der von Minkowski in der Geometrie der Zahlen eingeführte Begriff der sukzessiven Minima eines konvexen Körpers bezüglich eines Gitters hat zahlreiche Anwendungen in der Diophantischen Approximation gefunden. Die im Vorgängerprojekt entwickelte Idee, dass sich die simultanen Approximationseigenschaften einer gegebenen Menge irrationaler Zahlen bei geeigneter Wahl des Gitters und einer einparametrigen Menge konvexer Körper im dynamischen Verhalten der sukzessiven Minima als Funktionen dieses Parameters widerspiegeln, wird im vorliegenden Projekt weiter ausgebaut und verallgemeinert.Die im Fall zweier zu approximierender Irrationalzahlen bekannte Beschreibung des Verhaltens der drei zugehörigen Minimafunktionen konnte auf beliebig viele zu approximierende Zahlen ausgedehnt werden. De Facto konnte ein Beschreibung vom Graphen der Logarithmen der Minimafunktionen gegeben werden, das einerseits charakteristisch ist und gleichzeitig allgemein genug, für alle simultanen Approximationsprobleme dieser Art gültig zu sein. Mit Hilfe dieser Charakterisierung war es möglich, neue Ungleichungen zwischen den Approximationskonstanten zu finden und auf anschauliche, elementare Weise zu beweisen. Es ist zu erwarten, dass noch weitere, wenn nicht so gut wie alle, simultane Approximationseigenschaften aus der gegebenen Beschreibung abgeleitet werden können.