Topologie von fraktalen Pflastern

1975 führte Mandelbrot das Wort Fractal ein und bezeichnete damit Figuren mit selbstähnlicher Struktur. Küstenlinien, Schneeflocken, Wolken, Kristalle, ... all diese Objekte enthalten verkleinerte Kopien ihrer sich selbst und sind Beispiele von natürlichen Fraktalen. Fraktale treten auch in Chaostheorie als Attraktoren dynamischer Systeme auf. Sie haben nun zahlreiche Anwendungen, wie Bildkompression, Computer Grafik, Diffusionsprozesse,... Fraktale Pflaster sind selbstähnliche Muster mit einer Kachelungseigenschaft: durch Zusammenfügen von Kopien des Pflasters kann der ganze Raum ohne Überlappung überdeckt werden. Dies gelingt trotz der fraktalen Gestalt der Pflasterränder. Fraktale Pflaster kommen in vielen Gebieten der Mathematik vor, sowie Zahlentheorie, Theorie der dynamischen Systeme oder diskreter Geometrie. Viele Fragestellungen in diesen Gebieten widerspiegeln sich in topologischen Eigenschaften von fraktalen Pflastern. Deren Untersuchung erfordert Methoden der Fraktalgeometrie, Komplexanalysis und Automatentheorie. In diesem Projekt schlagen wir vor, breite Klassen von ebenen fraktalen Pflastern zu untersuchen: selbstaffine Pflaster, kristallographische selbstähnliche Pflaster und Substitutionpflaster. Selbstaffine Pflaster liefern periodische Kachelungen durch Translationen des Pflasters und sind bereits sehr dokumentiert. Sie lassen sich als Fundamentalbereiche von Zahlensystemen, ihre Ränder als jene Zahlen mit mehrfachen Darstellungen interpretieren. Kristallographische selbstähnliche Pflaster liefern auch periodische Zerlegungen, jedoch werden dabei Drehungen zugelassen. Substitutionspflaster wurden von Rauzy eingeführt, als er die Dynamik von Interval Exchange Transformation auf zweidimensionale Räume erweiterte. Sie werden oft Rauzy Fraktale genannt und ergeben periodische sowie aperiodische Zerlegungen. In all diesen Klassen ermöglicht die Kachelungseigenschaft, topologische Eigenschaften der Pflaster aus der Analyse der Ränder herzuleiten. In unserem Fall wird eine angebrachte Randparametrisierung von Wichtigkeit sein. Sie wurde von dem Antragsteller und einem Kollaboratoren eingeführt und erfolgreich auf zahlreiche Beispiele von selbstaffinen Pflastern - einschliessend kanonischen Ziffernsystemen Pflastern - geprüft. Die Parametrisierung verfolgt den Rand im masstheoretischen Sinne. Wesentlich ist, dass ein endlicher Automat der Parametrisierung zugrunde liegt. Das wird zu tiefgreifenden Informationen über die Topologie des Pflasters führen. Eigentlich werden Automaten bei der Betrachtung von fraktalen Rändern gewöhnlich verwendet. Jedoch entsteht durch diese Automaten eine symbolische Beschreibung des Randes, woraus die topologischen Eigenschaften noch schwer herauszuziehen sind. Diese Rolle wird die Parametrisierung übernehmen. Wir erzielen Folgendes. Wir wollen die Parametrisierung auf all die oben angedeuteten Klassen erweitern, ohne dass die grundsätzlichen Eigenschaften dabei verlorengehen. Schwierigkeiten entstehen wegen der topologischen Vielfalt der entsprechenden Pflaster. Wir wollen dann diese Parametrisierung zur Untersuchung der Topologie ausnutzen. Zu diesem Zweck werden Algorithmen implementiert. Letztendlich wollen wir die Grenzen der Methode erkunden und allgemeinere Klassen von Fraktalen betrachten. Gleichzeitig werden wir neue Klassen von kristallographischen Pflastern durch Einführung von kristallographischen Ziffernsystemen erzeugen. So wollen wir Pflaster mittlerer topologischer Komplexität bekommen, die dann zur Abhandlung der theoretischen Fragen und Implementierung der Algorithme verhelfen werden. Unsere Fortschritte wollen wir an Reihen von Beispielen und Teilklassen ermessen. Wir beantragen eine Vollzeit- und eine Teilzeit Post-doc Stellen für einen Zeitraum von 36 Monaten. Das Projekt wird am Departement für Mathematik und Informationstechnologieder Montanuniversität Leoben und am Institut für Diskrete Mathematik und Geometrie der Technischen Universtität Wien ausgeführt. Die Vollzeitstelle ist für den Antragsteller vorgesehen, der bereits an beiden Instituten tätig war (2006-2008). Internationale Kollaborationen werden im Projekt einbezogen. Weiters werden wir unsere Ergebnisse regelmässig in internationalen Zeitschriften und an internationalen Konferenzen vorstellen.

Dieses Projekt ermöglichte die Entwicklung von neuen Methoden zur Untersuchung von fraktalen Pflastern. Fraktale sind Gebilde mit einer selbstähnlichen Struktur, d.h., sie enthalten verkleinerte Kopien ihrer selbst: Schneeflocken, Kristalle, Küstenlinien, Karfiole, Wolken, sind Beispiele von Fraktalen in der Natur. Sie treten in manchen Gebieten der Mathematik auf: in Chaostheorie als Attraktoren dynamischer Systeme, in Zahlentheorie, in diskreter Geometrie,. Sie haben zahlreiche Anwendungen, wie Bildkompression, Computer Grafik, Diffusionsprozesse, Dank diesem Projekt konnten große Klassen von Fraktalen nach ihren topologischen Eigenschaften klassifiziert werden.Die Schwierigkeit der Untersuchung liegt an der fraktalen Struktur der Pflasterränder. Eine Methode Randparametrisierung wurde im Rahmen des Projektes entwickelt. Diese erfordert Methoden der Fraktalgeometrie, Komplexanalysis und Automatentheorie. Es kann mit Hilfe der Parametrisierung entschieden werden, ob gewisse planare Fraktale sich zu einer Kreisscheibe kontinuierlich deformieren lassen oder nicht. Bei der Untersuchung von nicht kreisscheiben-ähnlichen Fraktalen kann weiterhin die Randparametrisierung helfen, da diese der Fraktalgeometrie sehr treu bleibt. Automaten werden bei der Betrachtung von fraktalen Rändern schon länger verwendet. Jedoch entsteht durch diese Automaten lediglich eine symbolische Beschreibung des Randes, woraus die topologischen Eigenschaften schwer zu extrahieren waren. Diese Rolle übernimmt unsere Randparametrisierung.Weitere Ziele des Projektes wurden erreicht. Neue Klassen von Fraktalen wurden erzeugt, die einer kristallographischen Pflasterung zugrunde liegen. Tiefgreifende Informationen über die Topologie von fraktalen Pflastern, wie über die sogenannten Cut-Mengen, oder über die Komponenten, aus denen Pflaster mit wilder Topologie bestehen. Schließlich wurden allgemeinere topologische Mengen betrachtet und eine numerische Skale eingeführt, um zu messen, wie weit eine Menge zur Eigenschaft Lokalzusammenhang ist.Das Projekt ermöglichte nationale (TU Wien/MU Leoben), internationale Kooperationen (Frankreich, China, Japan). Insbesondere stand es ab 2013 in enger Kooperation mit dem FWF/ANR Projekt Fractals and numeration (2013-2017) mit Frankreich.