Stationäre schwarze Löcher und Penroseungleichungen

Die von S. Hawking und R. Penrose um ca. 1970 bewiesenen "Singularitätentheoreme" der Allgemeinen Relativitätstheorie besagen im wesentlichen folgendes: Ein zu einem gewissen Zeitpunkt betrachtetes Gravitationsfeld, das eine "eingefangene Fläche" enthält, muß innerhalb einer endlichen Zeitspanne notwendigerweise zu einer "Singularität" führen - ein Zustand, in dem die Theorie prinzipiell keine weiteren Vorhersagen über die Zukunft mehr erlaubt. Dieser "Zusammenbruch der Physik" soll durch den "kosmischen Zensor" vermieden werden - eine Hypothese, die besagt, daß die Singularitäten selbst, sowie deren gesamter Einflussbereich, innerhalb eines gewissen Gebietes der Raumzeit ("schwarze Löcher") bleiben. Für ein geeignetes Modell des Universums (insbesondere für ein "asymptotisch flaches", das sich in großer Entfernung von allen eingefangenen Flächen dem flachen Raum annähert) kann die Physik dann außerhalb der schwarzen Löcher ihre angestammte Rolle erfüllen. Aus diesen Tatsachen ergeben sich folgende Fragen: Wie bilden sich eingefangene Flächen ? Treten sie zu vorgegebener Zeit nur innerhalb eines bestimmten Raumgebietes auf (mit "marginal eingefangenen Flächen" als Grenzen)? Wenn ja, was ist die zeitliche Entwicklung dieser Grenzen (die "scheinbare Horizonte" genannt werden)? Wie liegen diese scheinbaren Horizonte im Vergleich zu den Grenzen der schwarzen Löcher (den "Ereignishorizonten")? Diese Probleme wurden insbesondere unter der vereinfachenden Annahme untersucht daß das Universum, das eingefangene Flächen enthält, stationär ist (d.h. alle Felder sind zeitunabhängig). Bei Abwesenheit von Materie wird vermutet, daß das allgemeine stationäre Gravitationsfeld durch das von R. Kerr 1963 gefundene Modell eines axialsymmetrischen, rotierenden schwarzen Lochs repräsentiert ist, was bisher aber nur unter weiteren vereinfachenden Annahmen bewiesen werden konnte. Eine wesentlich realistischere Annahme ist, daß sich die zeitliche Entwicklung des Vakuum-Universums mit marginal eingefangenen Flächen einem stationären Zustand nur annähert. In diesem Fall vermutet man eine zeitliche Entwicklung gegen die Kerr - Raumzeit, und man möchte insbesondere die Lage der obengenannten Horizonte möglichst genau beschreiben. Beide Probleme (Eindeutigkeit stationärer schwarzer Löcher sowie Annäherung an den stationären Zustand) werden im Projekt behandelt. Ein weiteres Problem im Zusammenhang mit der kosmischen Zensur ist die "Penroseungleichung", eine 1973 von R. Penrose formulierte Hypothese. Sie besagt, daß das Quadrat der Masse einer marginal eingefangenen Fläche (bzw. eines schwarzen Loches) größer oder gleich ihrer Oberfläche dividiert durch 16 pi sein muss. Unter stärkeren Voraussetzungen, in der insbesondere statt allgemeiner marginal eingefangener Flächen Minimalflächen vorausgesetzt werden, wurde diese Ungleichung 2001 von H. Bray und von G. Huisken und T. Ilmanen bewiesen. In ihrer allgemeinen Form wird die Penroseungleichung derzeit von mehreren Arbeitsgruppen untersucht, und sie ist auch Gegenstand dieses Projekts. Dabei soll in erster Linie eine Idee weiter verfolgt werden, die 2006 von H. Bray, S. Hayward, M. Mars und dem Antragsteller dieses Projekts entwickelt wurde. Es wird auch eine verallgemeinerte Version der Penroseungleichung vermutet, die für rotierende Minimalflächen bzw. rotierende eingefangene Flächen gelten und deren Drehimpulse explizit enthalten soll, und bei der die Gleichheit nur für die Kerr-Raumzeit gilt. Diese Version soll ebenfalls im gegenständlichen Projekt bewiesen werden. Da Masse, Fläche und Drehimpuls die wichtigsten (und zumindest theoretisch meßbaren) Parameter von marginal eingefangenen Flächen bzw. schwarzen Löchern darstellen, sind solche einfache Relationen zwischen ihnen von direktem physikalischen Interesse. Für die "Masse einer marginal eingefangenen Fläche" gibt es jedoch keine eindeutige Definition - wir planen hier das von R. Bartnik 1989 entwickelte Konzept anzuwenden.

Das Projekt fällt in die Kategorie Mathematische Relativitätstheorie- dabei handelt es sich um mathematische Resultate, die auf die Einsteinschen Feldgleichungen angewendet werden, bzw. um mathematische Methoden, die speziell zum Lösen dieser Gleichungen entwickelt werden. Die Resultate des Projekts bestehen im Wesentlichen aus zwei Teilen, die im Folgenden erklärt werden:1.) Konstruktion einer Klasse von Anfangsdaten für rotierende kosmologische Modelle.2.) Beweise für Ungleichungen zwischen der Fläche eines schwarzen Lochs und anderen charakteristischen Parametern, insbesondere seinem Drehimpuls und seiner elektrischen bzw. magnetischen Ladung.1.) Die gegenwärtige Vorstellung von der Entwicklung des Kosmos geht von einem konzentrierten Anfangszustand (Urknall) aus, der im Lauf von etwa 14 Mrd. Jahren zum derzeitigen Zustand geführt hat. Die wahrscheinlichste weitere Entwicklung ist eine ewige Expansion, die sich allmählich beschleunigt. Das einfachste Modell, das die meisten Beobachtungen, inklusive dieser beschleunigten Expansion, erklärt, sind homogene Lösungen der Einsteingleichungen mit einer sogenannten kosmologischen Konstanten. Da über den Urknall wenig bekannt ist, ist es einfacher, die zeitliche Entwicklung - im Modell - von späteren Anfangsdaten (also z.B. der Gegenwart) starten zu lassen. Dieser Projektteil befasst sich nun mit der Konstruktion einer Klasse von Anfangsdaten im Rahmen der sogenannten konformen Methode, deren Grundzüge auf Lichnerowicz (1944) zurückgehen. Der Schwerpunkt liegt hier auf rotierenden Kosmologien. In dem vereinfachten Modell sogenannter maximaler Daten reduziert sich das Problem auf das Lösen einer einzigen, semilinearen elliptischen Gleichung. Diese ist allerdings so kompliziert, dass ein zufriedenstellender Existenzbeweis für ihre Lösungen erst 2014 (durch Premoselli) gelungen ist.2.) Die Objekte, die wir hier schwarze Löcher nennen, sind eigentlich sogenannte stabile marginal eingefangene Flächen. Dabei handelt es sich (immer noch vereinfacht) um Grenzflächen, die ein Gebiet einschließen, in dem das Gravitationsfeld (zu einem vorgegebenen Zeitpunkt) so stark ist, dass weder Materie noch Licht entweichen können. Der wichtigste Parameter eines solchen Objekts ist seine Oberfläche. Bei axialsymmetrischen, rotierenden schwarzen Löchern kann man außerdem einen Drehimpuls definieren, und wenn ein elektromagnetisches Feld vorhanden ist, kann das Loch elektrische und magnetische Ladungen tragen. Diese Parameter müssen Ungleichungen erfüllen. Intuitiv kann man sich das so vorstellen, dass das Vorhandensein von Drehimplus bzw. Ladung einen entsprechenden Energieinhalt des Lochs voraussetzt, der wiederum eine gewisse Mindestgröße - insbesondere Oberfläche bedingt. Die Beiträge des gegenständlichen Projekts konzentrieren sich auf den Einfluss der in Punkt 1.) erklärten kosmologische Konstante auf schwarze Löcher im Allgemeinen, und auf solche Ungleichungen im Besonderen.