Strukturbasierte Verfahren für hochdimensionale Optimierung

Das Ziel dieses Projektes ist es, neue globale Optimierungsverfahren zur Lösung in der Praxis auftretender hochdimensionaler Probleme aus der chemischen Industrie zu entwickeln. Um die speziellen Herausforderungen der hochdimensionalen Probleme zu Überwinden, werden wir Verfahren ausarbeiten, die die Struktur der Probleme besonders ausnutzen, wie Konsistenztechniken, Split-Strategien und Dekompositionsmethoden. Der neu erforschte strukturgesteuerte Algorithmus wird in das GloptLab-Framework integriert und ausführlich getestet werden. GloptLab ist eine Plattform für rigorose globale Optimierung, die dem neuesten Stand der Technik entspricht und in den Jahren 2007 bis 2010 an der Universität Wien entwickelt wurde. Sogar professionelle Simulationssoftware ist inhärent nicht in der Lage, alle Lösungen eines vorgegebenen mathematischen Modells zu finden. Es ist jedoch unabdingbar für viele Anwendungen in der chemischen Industrie, alle mathematischen Lösungen zu finden, um passendes Equipment zu entwickeln, zu simulieren, zu kontrollieren und zu steuern. Branch-and-Prune-Verfahren garantieren das Auffinden aller Lösungen. Diese Garantie führt jedoch zu steigendem Aufwand. Bei Branch-and- Prune-Methoden steigt üblicherweise der Rechenaufwand drastisch an, wenn sich die Anzahl der Variablen erhöht. Eine große Anzahl an Anwendungsproblemen ist hochdimensional mit hunderten oder tausenden Variablen. In der letzten Zeit hat einer der Co-Antragsteller einen neuen strukturgesteuerten Algorithmus zur Lösung hochdimensionaler chemischer Industrieprobleme publiziert. Auf Basis dieser numerischen Ergebnisse und anderer publizierter Ergebnisse sind wir überzeugt, dass viele hochdimensionale Probleme aus der chemischen Industrie in eine Klasse durchaus lösbarer Probleme fallen. Diese vorläufigen Resultate werden zunächst vervollständigt und dann verallgemeinert werden. Eine Klasse lösbarer Probleme zu identifizieren wird ein wesentliches Resultat sein. Die praktische Bedeutung ist evident. Wir kombinieren das Wissen angewandter Mathematiker mit der Expertise von chemischen Ingenieuren, um die Effizienz unserer Algorithmen zu steigern. Wir planen, zwei vielversprechende und bereits existierende Lösungsalgorithmen zu kombinieren, der erste geschrieben aus der Perspektive des chemischen Ingenieurs (ASOL), der zweite aus der mathematischen Forschung (GloptLab). Das schlägt eine Brücke zwischen Theorie und Anwendung. Nachdem globale Optimierung ein sehr aktives Forschungsgebiet ist (angetrieben durch das weite Spektrum an Anwendungen), werden viele Forscher von den neu entwickelten Verfahren profitieren.

Die meisten industriellen Prozesse sind hochgradig nichtlinear. Daher ergibt sich in der täglichen Ingenieurspraxis oft das Problem, Systeme nichtlinearer Gleichungen zu lösen und die Parameter in diesen Systemen zu optimieren. Die Aufgabe, alle Lösungen zu finden, zu beweisen, dass es nur eine Lösung gibt, oder zu zeigen, dass wirklich die beste Lösung gefunden wurde, erfordert typischerweise eine komplizierte Fallstudie. Oft versagt eine solche Studie sogar, weit die Lösungssoftware nicht erkennt, dass noch nicht alle Lösungen gefunden wurde, oder wegen Konvergenz zu einer suboptimalen Lösung. Ziel dieses Forschungsprojekts war es, die Effizienz von Methoden, die alle Lösungen (oder die beste) finden sollen, zu verbessern, so dass sie bisher global nicht handhabbare Probleme in vernünftiger Zeit lösen können. Die Zielanwendung war die Berechnung von multiplen stationären Zuständen in Destillationskolonnen, wo alle Lösungen zu finden ein wichtiger Teil des Designzyklus ist. (Dies ist von praktisch großer Wichtigkeit, da in einer typischen Chemiefabrik 4080% der Investitionen für Destillierausrüstung verwendet wird.) Diese Probleme sind stark strukturiert; die Nutzung dieser Struktur, um die benötigte Verbesserung in den Lösungsverfahren zu erzielen, war das erklärte Hauptziel des Projekts. Wir entwickelten eine effiziente Methode, um alle Lösungen großer Gleichungssysteme zu finden, die die stationären Zustände in hochgradig schwierigen Destillationsproblemen beschreiben. Unsere neue Methode ist die erste, die die Schwachstellen der seit etwa 1930 bekannten stufenweise Methode behebt, ohne das stufenweise Prinzip zu verlassen. Die Verbesserung beruht auf einer neuen strukturellen Analyse der Gleichungen und der Nutzung dieser Struktur mittels einer Folge von lokalen Variablentransformationen. Wir verbesserten auch unsere globale Optimierungssoftware GloptLab, so dass es strukturierte globale Optimierungsprobleme effizienter löst. GloptLab benutzt das branch-and-prune (verzweige-und-verkleinere) Prinzip, um das globale Minimum eines globalen Optimierungsproblems durch sukzessives Verkleinern des Bereichs, in dem die beste Lösung liegen kann, zu bestimmen. Effiziente neue Verkleinerungsverfahren, die strukturelle Information nutzen können, wurden entwickelt und implementiert. Sie sind in der Nähe der besten Lösung, wo traditionelle Techniken Schwierigkeiten haben, besonders effizient. Eine innovative, auf der projektiven Geometrie beruhende Methode wird benutzt, um Probleme mit einem unbeschränkten Suchbereich bearbeiten zu können, die bisher gar nicht handhabbar waren.