Das d-bar Neumann Problem

Dieses Projekt befindet sich an der Schnittstelle zwischen Komplexer Analysis mehrerer Veränderlicher und der Spektraltheorie von Schrödinger Operatoren und Hankel Operatoren. Mit Hilfe einer Beschreibung präkompakter Teilmengen in L^2 - Räumen war es möglich, die Kompaktheit des d-quer Neumann Operators für beschränkte pseudokonvexe Gebiete abstrakt zu charakterisieren. Dabei war auch die Garding`sche Ungleichung von Bedeutung. Dieser Ansatz erwies sich bereits in verschiedenen Situationen als sehr hilfreich und soll als "roter Faden" im vorliegenden Projekt weiter verfolgt werden. In diesem Zusammenhang ist auch die potentialtheoretische Bedingung (P) sehr wichtig, das ist eine hinreichende Bedingung für die Kompaktheit des d- quer Neumann Operators auf beschränkten pseudokonvexen Gebieten. Diese Bedingung hat interessante Implikationen für die Theorie von Operatoren, die auf natürliche Weise mit dem Gebiet verknüpft sind. Des weiteren ergeben sich hier Zusammenhänge mit der Monge-Ampere Gleichung. Diese Fragestellungen sind Inhalt der Zusammenarbeit mit Kollegen der Universitäten Krakau und Nizza. Weiters ist es von Interesse, zu klären, ob oder in welchem Ausmaß die Kompaktheit der Restriktion auf Formen mit holomorphen Koeffizienten schon die Kompaktheit des ursprünglichen Lösungsoperators der d-quer Gleichung impliziert. In diesem Zusammenhang spielen die Kommutatoren der Bergman Projektion mit den Multiplikationsoperatoren der Koordinatenfunktionen eine entscheidende Rolle. Spektraleigenschaften des Witten-Laplace Operators wurden dazu verwendet, eine hinreichende Bedingung für die Kompaktheit der kanonischen Lösungsoperators der d-quer Gleichung auf einem gewichteten L^2-Raum anzugeben. Weiters wird das Spektrum, bzw. essentielle Spektrum des Box Operators untersucht. Dabei wird eine Vielzahl von Querverbindungen zwischen Spektraltheorie von Pauli und Schrödinger Operatoren und Komplexer Analysis eine wichtige Rolle spielen. Um die Kompaktheit des d-quer Neumann Operators zu charakterisieren, wird der neue, mehr funktionalanalytischer Zugang hilfreich sein. Eine weitere natürliche Frage wäre, ob Kompaktheit des d-quer Neumann Operators exakte Regularität im Sinne gewichteter Sobolew Räume impliziert. Klaus Gansberger begann, diese Ideen in seiner Dissertation weiter zu verfolgen und konnte einige vielversprechende Resultate beweisen, wobei die Spektraltheorie von Schrödinger und Dirac Operatoren Anwendung findet. Hierbei erwarten wir uns viele wichtige Impulse von einer weiteren Zusammenarbeit mit Bernard Helffer. Die spektraltheoretischen Fragestellungen haben auch mit dem Problem zu tun, ob gewisse gewichtete Hilberträume ganzer Funktionen unendlichdimensional sind, was sich dahingehend übersetzen lässt, dass 0 zum essentiellen Spektrum eines dazugehörigen Pauli-Operators gehört. Durch das Zusammenspiel von Methoden aus verschiedenen Gebieten der Analysis erwarten wir, neue Aspekte und Forschungsrichtungen in den einzelnen Gebieten zu erhalten.

Das Thema des Projektes liegt an der Schnittstelle mehrerer verschiedener Bereiche der Mathematik: komplexe Analysis, partielle Differentialgleichungen, Funktionalanalysis, Operatortheorie, Spektraltheorie, Potentialtheorie und mathematische Physik. Der d-quer Neumann Operator - der Losungsoperator für den komplexen Laplace Operator definiert auf komplexen Differentialformen liefert ein wichtiges Werkzeug, analytische und geometrische Aspekte der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen in mehreren komplexen Veränderlichen zu beschreiben. Betrachtet man gewichtete L2 - Raume, so eröffnen sich interessante Zusammenhänge mit gewissen Schrodinger, Dirac und Pauli Operatoren.Im ersten Resultat des Projektes wird das Spektrum des komplexen Laplace Operators auf dem Fock-Raum genau beschrieben. Weiters wird gezeigt, gewisse Randeigenschaften von Gebieten ermöglichen es, den d-quer Neumann Operator auf größere Lp -Raume stetig fortzusetzen. Während der Projektzeit hat der Projektleiter sein Buch The d-bar Neumann problem and Schrodinger operators fertiggestellt. Die Monographie erschien 2014 in der Serie De Gruyter Expositions in Mathematics.Der Projektleiter betreute vier Masterarbeiten und unterstützte die Kandidaten aus Mitteln des Projektes. Franz Berger setzte sein Studium als Doktoratsstudent fort. Im letzten Jahr kamen auch 2 Post Docs zur Projektgruppe.Der Projektleiter hielt mehrere eingeladene Vortrage bei Konferenzen und Seminaren in England, Frankreich, Polen, Italien, Norwegen, Spanien, Türkei, China, Mexiko und USA. Die internationalen Kontakte wurde durch WTZ-ÖAD Programme ausgebaut, und zwar mit Frankreich (Marseille, Nice), Polen (Krakau), Slowenien (Ljubljana).2015 wurde von der Projektgruppe der workshop Several Complex Variables and CR Geometry am Erwin Schrodinger Institut organisiert mit 30 führenden Experten aus der ganzen Welt.Einige Projektmitarbeiter, gemeinsam mit dem Projektleiter, setzen die Arbeit in einem neuen, genehmigten FWF-Projekt fort.