Ziffernsysteme für Laurent Reihen über endlichen Körpern

Der Satz von Christol setzt zwei mathematische Konzepte zueinander in Beziehung, die scheinbar wenig miteinander zu tun haben: Automatizität von Folgen und Algebraizität von Laurent Reihen. Es wird vermutet, dass sich dieser Satz auf verschiedene Arten von Ziffernentwicklungen in Funktionenkörpern verallgemeinern lässt. Wir möchten Resultate zur Algebraizität von Laurent Reihen erhalten indem wir Resultate aus der Automatentheorie mit zahlentheoretischen Resultaten kombinieren. Bislang wurden im Zusammenhang mit Ziffernsystemen nur endliche Automaten untersucht. Beispielsweise codieren endliche Automaten die Sprache aller zulässigen Entwicklungen oder führen die Addition mit einer festen Zahl durch. Im vorlegenden Projekt, werden Ziffernsysteme mit mehreren Basen untersucht. In diesem Fall werden die Automaten zu zellulären Automaten. In jüngster Zeit finden Ziffernentwicklungen mit rationalen Basen wie z.B. 3/2 zunehmend Interesse. Das Analogon zu derartigen Ziffernentwicklungen im Kontext von Laurent Reihen sind Ziffernsysteme mit nichtmonischen Polynomen als Basis. Obwohl solche Systeme ein äußerst kompliziertes Verhalten aufweisen konnten bereits viele strukturelle Resultate erzielt werden. Interessanterweise spielen auch hier wieder zelluläre Automaten eine wichtige Rolle.

Der Hauptthemenkomplex des Projekts waren Ziffernentwicklungen, sowohl in Funktionenkörpern als auch im Körper der p-adischen Zahlen. Im Allgemeinen sind Probleme in Funktionenkörpern leichter zu losen als ihre Gegenstücke in algebraischen Zahlkörpern. Für mehrere Typen von Ziffernentwicklungen war es möglich, algebraische Elemente über die Automatizität der Ziffern zu charakterisieren. Dies stellt eine Analogie zum bekannten Satz von Christol dar. Entsprechende Resultate für Zahlkörper sind nicht bekannt.Ein weiterer Themenkomplex befasste sich mit Rauzyfraktalen. Es wurden Dimensions- und Symmetrieeigenschaften einer speziellen Klasse von Rauzyfraktalen untersucht.Eine Arbeit befasste sich mit dynamischen Systemen die von Tent-maps erzeugt werden. Tent-maps sind stetige stückweise lineare Operatoren am Einheitsintervall. Wir bewiesen einen Zusammenhang dem dazugehörigen dynamischen System der Tent-map und einer bestimmten Beta-Entwicklung. Dieser Zusammenhang erlaubt uns Aussagen über die Menge der periodischen Punkte zu beweisen.