Modellierung und Steuerung von ansteckenden Phänomenen

Die wirtschaftlichen Verluste infolge von Grippeerkrankungen belaufen sich in den USA schätzungsweise auf über 80 Mrd. $ jährlich. Bei 15- bis 49-jährigen Frauen in Botswana und Zimbabwe liegt die Prävalenz von HIV/AIDS über 25 %. Allein diese beiden Zahlen zeigen bereits das gewaltige Ausmaß der humanitären und ökonomischen Auswirkungen von übertragbaren Erkrankungen, auch ohne die zahlreichen anderen epidemischen Krankheiten in menschlichen oder tierischen Populationen. Offensichtlich hat die Entwicklung neuer medizinischer Verfahren einen enormen Wert, doch von großer Bedeutung ist auch die Möglichkeit, den Verlauf von Epidemien vorherzusagen sowie wirksame Strategien dagegen zu entwickeln (edukative und medizinische Prävention, Überwachung, Behandlung usw.), und selbst geringfügige Verbesserungen haben hier beträchtliche Auswirkungen. Das vorliegende Projekt zielt darauf ab, die mathematischen Werkzeuge zum Modellieren und Simulieren weiterzuentwickeln und die dynamische Optimierung von Maßnahmen auf diesem Gebiet zu erleichtern. Das wichtigste besondere Kennzeichen dieses Projekts liegt darin, dass es relevante dynamische Modelle von heterogenen Populationen als Ausgangspunkt der Untersuchung verwendet. Heterogenität (in Bezug auf genetische Faktoren, Gewohnheiten, Risikoverhalten, Alter usw.) könnte eine wesentliche Rolle in der Entstehung von übertragbaren Erkrankungen spielen. Allerdings sind Modelle von Erkrankungen in heterogenen Populationen, die diese Heterogenität explizit berücksichtigen, nicht nur schwierig in der numerischen Analyse, sie erfordern vor allem auch entsprechend verteilte Daten, die für gewöhnlich entweder nicht verfügbar oder nicht verlässlich sind. Daher besteht eines der Hauptziele der vorliegenden Studie in der Entwicklung von neuen Aggregationstechniken, die die Heterogenität innerhalb von Modellen implizit berücksichtigen, welche nicht mit detaillierten verteilten Daten gespeist werden müssen und die andererseits eine einfachere analytische Struktur aufweisen. Dies gestattet eine realistischere numerische Simulation (und damit Vorhersage) des Verlaufs von Infektionserkrankungen sowie eine eingehendere qualitative Analyse. Diese Verfahren sind auch auf andere gesellschaftliche Prozesse anwendbar, denen ansteckende Phänomene zugrundeliegen, zum Beispiel "Epidemien" von illegalen Drogen. Das zweite Hauptziel des Projekts ist es, Methoden zum Entwerfen optimaler Präventions- und Therapieverfahren, die aus der optimalen Kontrolltheorie stammen, weiterzuentwickeln und zu implementieren. Dabei sind unterschiedliche "Leistungsmerkmale" geisteswissenschaftlicher/demographischer bzw. wirtschaftswissenschaftlicher Natur beteiligt. Neu daran ist wiederum die explizite oder implizite Berücksichtigung der Heterogenität der Bevölkerung. Mit Hilfe von expliziter Modellierung von heterogenen Populationen erarbeitete Strategien der Optimalsteuerung sind in der Realität aufgrund von fehlenden Daten oder aus technischen Gründen schwer anzuwenden, während die im Rahmen des oben erwähnten ersten Hauptziels aus aggregierten Modellen entwickelten Maßnahmen weniger Daten erfordern und sich leichter implementieren lassen. Die Wirksamkeit und die qualitativen Eigenschaften der letztgenannten Steuerungsmaßnahmen werden dabei mit den Resultaten für die ersteren zu vergleichen sein. Als zusätzlichen Nutzen wird das hier beantragte Projekt die Anwendung der hier eingesetzten mächtigen mathematischen Werkzeuge, insbesondere jener aus der Theorie der Optimalsteuerungen, auf die Gebiete der Epidemiologie und der Gesundheitsökonomie anregen.

In der mathematischen Epidemiologie ist es wichtig, die Heterogenität von relevanten Merkmalen wie Alter, Immunstatus oder die Neigung zu riskantem Verhalten innerhalb der modellierten Population angemessen zu berücksichtigen. Nur so können gültige Schätzungen durchgeführt und wirksame Gegenmaßnahmen geplant werden. Dementsprechend wurden bereits mehrere Methoden zur Beschreibung von Seuchenausbrüchen in heterogenen Populationen - inklusive darauf basierender Algorithmen und Software - entwickelt.Es gibt allerdings eine entscheidende Schwierigkeit bei der Anwendung derartiger Verfahren: Heterogene Modelle benötigen heterogene Information. Zum Beispiel sollte in einem immunitätsabhängigen Modell für jedes Immunitätslevel exakt bekannt sein, wieviele Personen dieses Level haben. In einem Modell welches das Risikoverhalten berücksichtigt, sollte bekannt sein, wieviele Personen eine gegebene Häufigkeit eines bestimmten Typs von riskantem Kontakt aufweisen und zwar für jede potentielle Häufigkeit und für jede Art von Kontakt. Es ist klar, dass derartige Informationen in der Realität entweder nicht oder nur in sehr vager Form (unvollständig oder nicht ausreichend exakt) verfügbar sind. Es ist daher von entscheidender Bedeutung, Methoden zu entwickeln, die die Nutzung von derartigen unvollständigen, vagen oder unsicheren Informationen erlauben. Da selbst verlässliche statistische Informationen oft nicht verfügbar sind, beschäftigt sich ein wesentlicher Teil des Projektes mit set-membership-Schätzung: Hier wird zu jedem Zeitpunkt anstelle einer Punktschätzung für den Zustand einer Population (ein Vektor mit Komponenten wie die Anzahl der anfälligen, infizierten Individuen) eine möglichst kleine Menge von möglichen Zuständen betrachtet, die mit den zur Verfügung stehenden Informationen kompatibel sind.Derartige set-membership Schätzungen von aggregierten Zuständen heterogener Populationen erfordert die Lösung bestimmter atypischer Optimierungsprobleme für verteilte Systeme. Das Projekt entwickelt die Theorie, numerische Methoden und Software für derartige Probleme und ermöglicht insbesondere die effiziente Berechnung von set-membership im Zeitablauf. Zudem können die entwickelten Methoden modifiziert werden, um optimale Präventions- und Behandlungsmaßnahmen zu berechnen. Insbesondere werden optimale Impfprogramme und optimale Chemoprophylaxe untersucht, wobei Optimalität hier wahlweise als minimale langfristig aggregierte Anzahl von infizierten Individuen oder als minimaler diskontierter ökonomischer Verlust verstanden wird. Eine weitere Quelle von Unsicherheit in epidemiologischen Modellen besteht in stochastischen Störungen die durch Zufälle in der Fortpflanzung der Seuche oder weißes Rauschen in den Infektionsintensitäten entstehen. Das Projekt trägt auf zweierlei Weise zur stochastischen Epidemiologie bei: Erstens wird die kürzlich entwickelte Theorie über Warnsignale vor kritischen Übergängen für eine Klasse von heterogenen epidemiologischen Modellen weiterentwickelt. Dies führt zu genaueren Vorhersagen von möglichen Seuchenausbrüchen. Zweitens lösen wir das Problem optimaler Behandlung unter der Annahme von weißem Rauschen in den Parametern. Abhängig von der zur Verfügung stehenden Information betrachten wir hier sowohl das entsprechende closed loop, als auch das open-loop Problem.Eine wichtige Fragestellung der mathematischen Epidemiologie ist die Charakterisierung des langfristigen Verhaltens von Seuchen. Insbesondere will man wissen, ob eine Seuche ausstirbt oder zu einem endemischen Zustand führt. In diesem Zusammenhang sind die sogenannte basic reproduction number (die die Fähigkeit der Seuchenerreger zur Fortpflanzung in der Population misst) und die Stabilitätseigenschaften von Gleichgewichtszuständen wichtig. Das Projekt untersucht diese Fragestellungen für einige einfache heterogene Populationsmodelle, sowie unter stochastischer Unsicherheit. Dies ermöglicht eine verbesserte Vorhersage von Seuchenausbrüchen und erleichtert das Design von Steuerungsmaßnahmen.