Weyl-Theorie und Anfangs-Randwertprobleme

Wir haben vor, die klassische Weyl-Theorie für kanonische Systeme, Krein`sche Systeme, sowie andere selbstadjungierte Systeme weiterzuentwickeln. Darüber hinaus werden wir die Weyl-Theorie für Gleichungen mit Singularitäten und für nicht-selbstadjungierte Gleichungen, wie radiale Dirac-Gleichungen, sphärische verstörte Schrödinger-Gleichungen, sowie verschiedene Klassen von Gleichungen die rational vom Spektralparameter abhängen, diskrete Systeme und Jacobi-Blockmatrizen zu entwickeln. Wir werden eine auf M.G Krein zurückgehende Methode weiterentwickeln und auf inverse Probleme anwenden, die auf der Inversion beschränkter positiver Operatoren basiert, die eine einfache Struktur besitzen und geeignete Operator-Identitäten erfüllen. Dies wurde im Fall der selbstadjungierte Dirac-Typ-Systeme von M.G. Krein behandelt. Die von ihm betrachteten Operatoren waren Operatoren mit Differenzkernen die durch die Spektralfunktionen erhalten wurden. Für die nicht-selbstadjungierten Fälle, in denen die verallgemeinerte Weil`sche Matrixfunktion nicht der Herglotz-Klasse angehört, werden wir die entsprechend strukturierten Operatoren direkt aus den Weyl-Funktionen erhalten. Die verbundete Themen von dreieckiger Faktorisierung und der Ähnlichkeit von Operatoren werden auch behandelt. Mittels einer speziellen Version der Bäcklund-Darboux Transformation werden wir explizit inverse Probleme für den Fall einer rationalen Weyl-Matrixfunktion (sowie für einige andere umfangreichere Klassen der Weyl- Funktionen) behandeln. Eine explizite Konstruktion der Fundamentallösungen ist eng mit der expliziten Rekonstruction der Potentiale aus den Weyl-Funktionen verbunden, also mit der expliziten Lösung des inversen Problems. Wir wollen solche Fundamentallösungen konstruieren. Wir werden unsere spezielle Version der Bäcklund-Darboux Transformation auf die diskrete und kontinuierliche integrierbare Systeme anzuwenden. Mittels (zusätzlich) sogenannter S-Multiknoten werden wir Gleichungen mit $k>1$ Raumvariablen studieren. Wir erwarten verschiedene Anwendungsmöglichkeiten in der Analysis, der Theorie der Zufallsmatrizen, im Elektromagnetismus, und in der Quantenmechanik. Um Anfangs-Randwertprobleme zu untersuchen, werden wir die Methode der inversen Spektraltransformation verwenden, in der die Weyl-Theorie von großen Bedeutung ist. Wir planen, diese Methode stark weiterzuentwickeln. Insbesondere haben wir vor weitere Anwendungen der inversen Spektraltransformationen auf das Frequenzverdopplungs-Modell zu entwickeln und die Weyl-Theorie auf die klassische Korteweg-de Vries- Gleichung, Verallgemeinerungen der nichtlineare Schrödinger-Gleichung, Camassa-Holm Gleichung, Hashimoto Strömung auf diskretem Bogen, und Heisenberg-Kette anzuwenden. Schließlich planen wir, das Langzeitverhalten der Lösungen mithilfe der Riemann-Hilbert-Methode zu untersuchen.

Die Weyl-Theorie ist ein wichtiger und sich rasant entwickelnder Teil der Spektraltheorie für Differentialgleichungen und für Systeme von Differentialgleichungen. Direkte Weyltheoretische Probleme handeln von Weyl-Funktionen, während inverse Probleme mit der Erholung von Differentialgleichungen und Systemen von Differentialgleichungen aus Weylfunktionen verbunden sind. Im Rahmen des Projektes entwickelten wir die Weyl-Theorie für die klassischen Dirac und Schrodinger Gleichungen weiter und präsentierten auch die Weyl-Theorie für wichtige nichtklassische Gleichungen. Insbesondere wurde das inverse Problem der Erholung des klassischen Dirac-Systems mit dem lokal quadratischintegrierbaren Potential gelöst. (Dieses Problem wurde von F. Gesztesy formuliert.) Das Resultat ist auch für die nichtklassischen rechteckigen Weyl-Matrixfunktionen gültig. Überdies wandten wir (in Zusammenarbeit mit J. Eckhardt, F. Gesztesy, R. Nichols and G. Teschl) dieses Resultat bei der Lösung des inversen Problems für Schrödingert-Typ Operatoren mit den Verteilungs-Typ Potentialen an.Im Rahmen des Projektes entwickelten wir auch die Weyl-Theorie für diskrete selbstadjungierte und schiefselbstadjungierte Dirac-Systeme (einschließlich dem Fall von recht- eckigen Weyl-Matrixfunktionen).Wir verwendeten zwei verschiedene Losungsansätze: einen für allgemeine Losungen von inversen Problemen und einen anderen für explizite Losungen im Fall von rationalen Weyl-Matrixfunktionen. Die Stabilität von unserem Losungsansatz für explizite Losungen, welche in den Anwendungen wichtig ist, haben wir für diskrete und kontinuierliche Dirac- Systeme bewiesen.Wir untersuchten Anfangs-Randwertprobleme für integrierbare nichtlineare Wellengleichungen mittels unserer Resultate über die Evolution von den Weyl-Matrixfunktionen. Diese Anfangs-Randwertprobleme sind oft überbestimmt und es ist wichtig die notwendigen Anfangs-Randwertdaten zu reduzieren. Unter einigen einfachen Bedingungen haben wir gezeigt, wie die Randwertdaten aus Anfangsdaten (und umgekehrt) für die berühmte nichtlineare Schrodinger Gleichung konstruiert sein konnten. Das Resultat kann für die anderen Wellengleichungen verallgemeinert sein.Zusätzlich verwendeten wir die erhaltenen Methoden zu inversen Problemen für dynamische Dirac-System, zu explizite Losungen von nichtstationären Dirac und Schrödinger Gleichungen, von nichlinearen Wellengleichungen, von dynamische Systeme, und zu Untersuchung von stabilen Losungen von der inhomogenen nichlinearen Fokker-Planck Gleichung. Die Projektresultate wurden in einer Monographie und in 14 Artikel veröffentlicht.