Probabilistische Untersuchung mehrdimensionaler Probleme

Die Entwicklung der Theorie der Gleichverteilung modulo eins und der Diskrepanztheorie startete mit Hermann Weyls grundlegender Arbeit von 1916. Seither hat sich gezeigt dass diese Konzepte nicht nur von außerordentlichem theoretischen Interesse, sondern auch in vielen Bereichen der angewandten Mathematik von großer Bedeutung sind. So basiert etwa die sogenannte Quasi-Monte Carlo (QMC) Methode zur numerischen Integration auf der Beobachtung, dass der Unterschied zwischen dem Durchschnittswert einer Funktion an bestimmten Beobachtungspunkten und ihrem Integral durch die Variation der Funktion und die Diskrepanz der verwendeten Punkte beschränkt ist; diese Feststellung, deren mathematische Formulierung als Koksma-Hlawka Ungleichung bezeichnet wird, zeigt dass Punktmengen mit geringer Diskrepanz zur numerischen Integration verwendet werden können, und da Punktfolgen mit einer Diskrepanz von asymptotischer Ordung von beinahe N -1 bekannt sind, liefert QMC oft bessere Ergeb- nisse als Monte Carlo (MC) Integration, die einen Fehler von asymptotischer Ordung N -1/2 liefert. Obwohl die Diskrepanztheorie einen intensiv untersuchten Teilbereich der Mathematik darstellt, sind zahlreiche grundlegende Fragen noch offen. Insbesondere sind viele bekannte Ergebnisse nur für eine sehr große Anzahl von Punkten verwendbar, wodurch für die QMC Integration mit einer verhältnismäßig geringen Anzahl von Punkten (im Vergleich zur Dimension) die theoretische Grundlage fehlt. Diese Beobachtung führte in letzter Zeit zu einem verstärkten Interesse an hochdimensionaler QMC Integration, da in diesem Fall die Anzahl der Punkte nicht ausreichend hoch gewählt werden kann, um die bekannten Ergebnisse zu verwenden. Während klassische Konstruktionen von Folgen mit geringer Diskrepanz meistens rein deterministisch sind, basieren diese neuen Methoden auf wahrscheinlichkeitstheoretischen Grundlagen, entweder indem bekannte Konstruktionen randomisiert werden, oder indem die Existenz bestimmter Punktmengen mit wahrscheinlichkeitstheoretischen Methoden bewiesen wird. Das vorgeschlagene Forschungsprojekt wird sich mit Anwendungen der Wahrscheinlich- keitstheorie auf hochdimensionale Probleme beschäftigen, insbesondere in der Diskrepanztheorie. Im ersten Jahr werden wir uns mit sogenannten lakunären Funktionenfolgen beschäftigen, die einer bekannten Heuristik zufolge im eindimsionalen Fall ein ähnliches Verhalten wie Folgen unabhängiger Zufallsvariablen zeigen, und daher (vorausgesetzt, dass ähnliche Resultate auch in höheren Dimensionen gültig bleiben) zur MC Integration verwendet werden könnten. Im zweiten Jahr werden wir uns intensiv mit dem Verhalten von Zufallsvektoren beschäftigen, insbesondere in Hinblick auf die empirische Verteilungsfunktion. Im dritten Jahr werden wir uns schließlich vor allem mit Diskrepanztheorie beschäftigen, und wahrscheinlichkeitstheoretische Methoden verwenden, um Schranken für die Diskrepanz randomisierter QMC-Folgen anzugeben und die Existenz "kleiner" Punktmengen mit geringer Diskrepanz zu beweisen.

Eines der tiefsten Ergebnisse der Fourier-Analysis ist der Satz von Carleson (1966), welcher besagt, dass die Fourier-Reihe einer beliebigen quadratisch integrierbaren Funktion fast uberall im Sinne des Lebesgueschen Maßes konvergent ist. Im Gegenteil dazu ist sehr wenig uber den Fall bekannt, in welchem die trigonometrischen Funktionen sin x, cos x durch eine allgemeine peri- odische Funktion f (x) ersetzt werden. Insbesondere gibt es keine befriedigenden Kriterien fur die fast uberall Konvergenz der Reihe ck f (kx). Ebenso gibt es keine scharfen Ergebnisse im Fall N der Divergenz fur die Geschwindigkeit des Wachstums der Teilsummenk=1 ck f (kx). Mehrere beruhmte oene Probleme der Analysis konnen in diesem Bereich formuliert werden und die wichtig- sten Ergebnisse unseres Projektes sind die Losungen von einigen dieser Probleme. Unter anderem haben wir optimale oder nahezu optimale Konvergenzkriterien furck f (kx) in dem Fall gegeben, in welchem die Funktion f beschrankte Variation hat, oder die Fourier-Koezienten von f mit polynomialer Geschwindigkeit abnehmen. Nach einer beruhmten Vermutung von Khinchin (1923) N konvergieren die Mittelwerte N -1k=1 f (kx) fur eine 1-periodische, Lebesgue integrierbare Funk- tion gegen das Integral uber (0, 1). Diese Vermutung wurde nach fast 50 Jahren von Marstrand (1970) widerlegt, aber es wurde bisher keine Charakterisierung von Funktionen gefunden, die diese Konvergenzbeziehung erfullen. In unserem Projekt haben wir bewiesen, dass die bekannte hin- reichende Bedingunga2k s-1 (k) < 8 von Koksma (1953) fur die Fourier-Koezienten von f optimal ist und damit haben wir die fast hundertjahrige Geschichte dieses Problems im Fall f L2 abgeschlossen. In dem Fall, wo f eine zentrierte und periodisch erweiterte Indikatorfunktion ist, sind die letzten Summen eng mit der Diskrepanz der Folge {nx} verknupft. Diese Folge ist auch ein klassisches Objekt der mathematischen Analysis und durch die Arbeiten von Hardy und Littlewood, Khinchin, Weyl, Ostrowski und anderen in den fruhen 1900er Jahren wurde sein asymptotisches Verhalten vollstandig aufgeklart. Im Gegenteil dazu ist sehr wenig uber das Verhalten der Diskrepanz der Teilfolgen {nk x} bekannt. Als Nebenprodukt unserer Studien des Systems f (nx) haben wir wichtige Information auch in diesem Gebiet gewonnen. Die Beweise unserer Satze verwenden Methoden aus verschiedenen Teilen der Mathematik, wie Zahlentheorie, komplexe Analysis, Ergodentheorie, und Wahrscheinlichkeitstheorie. Unsere Un- tersuchungen haben zu einer Reihe von weiteren Resultaten in diesen Bereichen gefuhrt. Unter anderem haben wir optimale Grenzen fur so genannte GCD (greatest common divisor) Summen bewiesen, und damit eine lange Reihe von Untersuchungen, die in den 1930er Jahren angefan- gen wurden, abgeschlossen. Wir haben auch Grenzwertsatze in der Theorie der Kettenbruche, starke Approximationssatze fur Bernoulli Shift Prozesse bewiesen, wir haben die klassische Paley- Zygmundsche Theorie von zufalligen trigonometrischen Reihen fur Reihen mit zufalligen Lucken erweitert, und Irregularitaten in stochastischen Spielen studiert.