Spektralinvarianten: Index und Nichtkommutatives Residuum

Dieses Projekt zielt darauf ab, Fragestellungen im Bereich der Indextheorie auf zwei verschiedenen zusammenhängenden Ebenen zu untersuchen. Zunächst werden wir uns - in der abstrakten Formulierung von Connes Spektraltripeln - mit Kriterien für die meromorphe Fortsetzungseigenschaft befassen. Dabei machen wir die lokale Indexformel von Connes und Moscovici für verschiedene Anwendungen zugänglich. Basierend auf unseren Erfahrungen mit Spektraltripeln und Kreuzproduktalgebren, präsentieren wir vier Schritte zur Bewältigung dieses Problems. Im zweiten Teil werden wir Methoden der nichtkommutativen Geometrie verwenden um singuläre Räume zu studieren. Viele sinnvolle singuläre Räume können mittels Desingularisation in Form von Lie Gruppoiden analysiert werden. Zu jedem solchen einem Lie Gruppoid ist eine Algebra von Pseudodifferentialoperatoren assoziiert (jedoch nicht notwendigerweise durch Spektraltripeln). Wir betrachten gewisse Spektraltripel auf der Algebra A von Pseudodifferentialoperatoren 0-ter Ordnung über einem einen singulären Raum repräsentierenden Gruppoid G, und werden den entsprechenden abstrakten Kalkül von Pseudodifferentialoperatoren mit dem invarianten Kalkül auf dem Gruppoid in Verbindung bringen. Die Idee für dieses Projekt ist motiviert durch Arbeiten von R. Melrose, S. Moroianu, V. Nistor, E. Schrohe und anderen im Antrag erwähnten Experten, sowie unserer eigenen Erfahrung mit der Berechnung von zyklischen Kohomologien für das Kreuzprodukt-Spektraltripel.

Viele grundlegende Fragen in der Mathematik beschäftigen sich mit dem Verständnis und der Klassifizierung geometrische Strukturen als auch mit ihrer Konstruktion, und insbesondere von Beispielen solcher Strukturen mit vorgeschriebenen Eigenschaften. Was wir mit geometrischen Strukturen meinen ist die Angabe zusätzlicher Daten auf einer höher dimensionalen Oberfläche oder Mannigfaltigkeit. Entlang einer Kurve auf der Mannigfaltigkeit ermöglichen die zusätzlichen Daten der geometrischen Struktur den Transport von anderen Attributen wie beispielsweise Vektoren. Die zusätzlichen geometrischen Daten ermöglichen somit die Berechnung der "Änderungsrate" verschiedener Attribute entlang einer Kurve. Dadurch erhält man auf einer Mannigfaltigkeit differenzielle Operatoren.Dieses Projekt untersuchte Symmetrien und Differentialoperatoren auf einer Mannigfaltigkeit, die sich auf unterschiedliche geometrische Situationen bezieht. Das Ziel war die Existenz von bestimmten Strukturen zu beweisen, so wie die Eigenschaften zu entdecken, die sie voneinander unterscheidbar machen und damit könnte man sie eventuell klassifizieren. Eines unserer Ergebnisse war die Beschreibung von Hindernissen für die Existenz einer Cartan-Geometrie, auf 5 dimensionalen Mannigfaltigkeiten. Diese Klasse von Geometrien wurde von Elie Cartan vor mehr als einem Jahrhundert eingeführt und wir haben festgestellt, dass eine 5 dimensionale Mannigfaltigkeit ein (topologisches) Kriterium zu einer solchen Geometrie befriedigen muss. Diese Obstruktion entsteht durch den Index eines geeigneten elliptischen Differentialoperators.Wir bemerken, dass der (Fredholm) Index eines Operators ein Ausmaß für seine mangelnde Umkehrbarkeit ist. Der Index kann für eine Klasse von Operatoren definiert werden, die hypoelliptische Operatoren enthält. Hypoelliptizität ist die Voraussetzung, dass ein Operator die im Input vorhandenen Singularitäten nicht zerstört oder glättet. In den meisten Fällen ist die Feststellung der Hypoelliptizität für einen Operator schwierig und die Berechnung des Index kann noch komplizierter sein. In diesem Projekt haben wir aber herausgefunden, dass diese Aufgabe unvermeidlich ist.Ein großer Teil dieses Projekts war der Analyse von hypoelliptischen Operatoren gewidmet, die ein sehr allgemeines Kriterium für Hypoelliptizität und damit zusammenhängende Einschätzungen liefern. Unser Kriterium zeigt dann, dass eine große Klasse von Operatoren, die aus verschiedenen geometrischen Strukturen gewonnen wurden, einschließlich der sogenannten gebogenen BGG-Operatoren, hypoelliptisch ist. Die Arbeit an dem Index dieser Operatoren ist im Gange und einige Zwischenergebnisse über zyklische Homologie unter Symmetrien wurden bereits veröffentlicht. Die Hypoelliptizität dieser Operatoren erzeugt K-Theoretische und Torsionselemente. In Analogie zum elliptischen Fall erwarten wir, dass diese Varianten in der zukünftigen Forschung eine entscheidende Rolle spielen werden.