Kategorisierung des Ausbeulens mittels sphärischer Geometrie

Mangelnde Steifigkeit kann zum Ausbeulen von Tragwerken führen. Dazu kann es bei schlanken metallischen Tragkonstruktionen bereits bei relativ geringer Materialbeanspruchung kommen. Verzicht auf statisch überzählige Stützungen und weitgehendes Fehlen von stabilisierenden Zuggliedern vergrößern in der Regel den beim Ausbeulen entstehenden Schaden, der bis zum Kollaps von Strukturen und der damit verbundenen Gefahr für Leib und Leben reichen kann. Übergeordnetes Ziel des Forschungsprojekts ist die Verbesserung des Beulverhaltens von Tragwerken durch möglichst geringfügige Änderungen des ursprünglichen Entwurfs unter Bedachtnahme auf funktionelle Erfordernisse und ästhetische Ansprüche. Mittel zum Zweck sind Sensitivitätsanalysen des Beulverhaltens unter Einschluss des initialen Nachbeulverhaltens, worunter man die Anfangsphase des Beulprozesses versteht. Dabei geht es um die Umwandlung ursprünglich imperfektionssensitiver, d.h. gegenüber unvermeidbaren Planabweichungen empfindlicher Strukturen in imperfektionsinsensitive Tragwerke, bei denen der durch Ausbeulen verursachte Schaden zumeist vergleichsweise klein ist. Eine besonders erstrebenswerte Form einer solchen Umwandlung ist auf Ausbeulen von einem Membranspannungszustand beschränkt. Das legt die Wahl des prozentualen Anteils der Biegeenergie an der gesamten Verzerrungsenergie als Kriterium zur Kategorisierung des Ausbeulens nach verschiedenen statischen Ausgangszuständen des Beulvorgangs im Hinblick auf das übergeordnete Projektziel nahe. Der Nachweis der Quantifizierbarkeit dieses Anteils im Rahmen der Methode der Finiten Elemente (FEM) für beliebige Strukturen und beliebige Beanspruchung ohne vorangegangene Berechnung technisch eher unbedeutender absoluter Energiegrößen hat große erkenntnistheoretische und praktische Bedeutung. Ein wesentlicher Aspekt der beabsichtigten Kategorisierung, die sich als eine Art roter Faden durch das Projekt zieht, sind "verborgene Bedingungen" zur Identifizierung der mechanischen Situation im Vorbeulbereich und zu Beginn des Ausbeulens im Kontext mit der FEM. "Verborgen" bedeutet hier, dass diese Bedingungen bei der FEM im Gegensatz zu klassischen analytischen Beulberechnungen weitestgehend nicht zu Tage treten und deshalb unbekannt sein dürften. Mathematisches Rüstzeug zur Realisierung des Forschungsvorhabens ist das sogenannte konsistent linearisierte Eigenproblem. Seine Lösung hängt von einem dimensionslosen Lastfaktor, der von Null bis zur Stabilitätsgrenze proportional gesteigert wird, ab. Die Vektorfunktion, die den normierten Gundeigenvektor repräsentiert, stellt eine Flächenkurve auf der Einheitskugel dar. Die Wahl geeigneter mechanischer Größen für den vom Lastfaktor abhängigen Azimut- bzw. Zenitwinkel ist eine der Herausforderungen des Projekts. Der Verlauf der Flächenkurven auf der Kugel erlaubt nicht zuletzt eine quantitative Bewertung des Ausmaßes an allfälliger prozentualer Umlagerung von Membran- zu Biegeenergie im Vorbeulbereich. Intellektuelles Fundament des Projekts ist die Verknüpfung von Strukturmechanik und sphärischer Geometrie zur Lösung eines anspruchsvollen technischen Problems.

Beim Entwurf metallischer Strukturen, wie man sie etwa in der Architektur und im Bauwesen häufig antrifft, ist auf ausreichende Sicherheit gegen Stabilitätsverlust zu achten. Das danach einsetzende Ausbeulen kann katastrophale Folgen zeitigen, die bis zum Verlust von Menschenleben reichen können. Das Tragvermögen von Strukturen nach Erreichen Ihrer Stabilitätsgrenze hängt von der Beanspruchung im Vorbeulbereich ab, die ihrerseits von mehreren mechanischen und geometrischen Faktoren beeinflusst wird. Bei der Beanspruchung unterscheidet man vornehmlich zwischen Streckung und Biegung, die sich in Form von in der betreffenden Struktur gespeicherter Streckungsenergie bei Flächentragwerken auch als Membranenergie bezeichnet sowie von Biegeenergie quantifizieren lassen. Die im Titel des Forschungsprojekts angeführte Kategorisierung bezieht sich auf die prozentuelle Aufspaltung der Verzerrungsenergie in ihren Membran- und energetischen Restanteil, innerhalb dessen der Biegeanteil in der Regel dominiert. In diesem Titel klingt eine nicht nur erkenntnistheoretisch bedeutsame, neuartige Symbiose von Strukturmechanik und sphärischer Geometrie an. Dabei handelt es sich nicht zuletzt um ein technisch relevantes Ziel, das die Grundlage für die Ermittlung des Einflusses der Biegewirkung im Vorbeulbereich auf das anfängliche Beulverhalten darstellt. Erreicht wird dieses Ziel mit Hilfe der Differentialgeometrie, eines Teilgebiets der Mathematik, das in keinem ursächlichen Zusammenhang mit der erwähnten Aufspaltung der Verzerrungsenergie zu stehen scheint. Dabei spielt ein spezielles lineares Eigenwertproblem, das ursprünglich einem ganz anderen Zweck diente, eine entscheidende Rolle. Die zur Aufspaltung der Verzerrungsenergie aufgestellte Hypothese beruht auf diesem Eigenwertproblem. Sie wurde für den Grenzfall einer nur auf Streckung beanspruchten Struktur exakt und für den anderen Grenzfall einer auf reine Biegung beanspruchten Struktur in sehr guter Näherung verifiziert. Für allgemein beanspruchte Strukturen musste sie jedoch modifiziert werden. Die Verifizierung der modifizierten Hypothese durch Vergleich der Resultate mit bereits vorhandenen Ergebnissen auf der Grundlage einer herkömmlichen Aufspaltung der Verzerrungsenergie wird in allernächster Zukunft erwartet. Bemerkenswert ist die attraktive Form der Ergebnisdarstellung als Kurve auf der Oberfläche eines Oktanten der Einheitskugel. Sie erlaubt eine rasche, energetisch fundierte, quantitative Beurteilung des globalen Tragverhaltens der untersuchten Strukturen bis zur Stabilitätsgrenze und relativiert damit die Bedeutung traditioneller qualitativer Aussagen über mechanisches Strukturverhalten. Die numerische Umsetzung des anspruchsvollen theoretischen Konzepts stellte eine große Herausforderung dar. Das betraf in erster Linie die numerische Lösung des erwähnten linearen Eigenwertproblems, bei dem eine der beiden Koeffizientenmatrizen als Differenzenquotient approximiert werden musste.