Zeit/Frequenz-Analysis und Zahlentheorie in Wechselwirkung

Zeit/Frequenz-Analysis ist ein modernes mathematisches Teilgebiet mit unmittelbaren Anwendungen in verschiedensten Fachgebieten, wie Signal- und Bildverarbeitung, Quantenphysik, Nachrichtentechnik, Seismik und Geologie, Radar, Mobilfunk oder der Analyse biometrischer Daten in der Medizin. Die Grundlage der Zeit/Frequenz-Analysis ist die Fouriertransformation und ihre zeitvariante Form, die Kurzzeit- Fouriertransformation. In vielen Punkten steht die theoretisch besonders interessante kontinuierliche Sichtweise in direktem Zusammenhang mit der praktisch besonders interessanten diskreten Sichtweise. Zum Beispiel ist die diskrete Fouriertransformation ein direktes Analogon der kontinuierlichen Fouriertransformation. Jedoch ergeben sich für die diskrete Version neue Fragen, die rasch zu zahlentheoretischen Problemen führen, anders als bei der kontinuierlichen Variante. Wir sind besonders interessiert an der Wechselwirkung zwischen diesen zahlentheoretischen Problemen und den analytischen Problemen der kontinuierlichen Theorie. Der Gewinn dieser Forschung wird ein neues Verständnis für die Anwendbarkeit der Zeit/Frequenz-Analysis sein. Untersucht werden soll sowohl die wichtige Bedeutung der zahlentheoretischen Fragestellungen für diesen Zweig der Analysis, als auch der Einsatz von Fourier- und Zeit/Frequenz-Methoden für die Zahlentheorie.

Das Projekt diente Fragen der mathematischen Grundlagenforschung in der Verknüpfung zweier Fachgebiete: Zeit/Frequenz-Analysis und Zahlentheorie. Probleme und Fragestellungen, die der Grundlagenforschung gestellt werden, kommen meist aus den Anwendungen auf indirektem Weg. Eine der wichtigsten Fragestellungen an die Zeit/Frequenz-Analysis sind Verbesserungen bei der Übertragung von Daten, heute vor allem wireless, also auf drahtloser Basis (Mobilfunk, WLAN, terrestrisches Fernsehen etc.). Ein aktuelles Problem dabei ist das Reduzieren von Interferenzen. Interferenz bedeutet, dass ein Kanal einen andern stören konnte, so dass sichere Übertragung nur bei geringerer Datenrate möglich ist. Interferenz ist zwar grundsätzlich unvermeidbar, kann aber durch immer bessere Methoden stark reduziert werden, was höhere Übertragungsraten erlaubt.Interferenz-Reduktion ist ein technisches Thema und basiert auf Verfahren mit mathematischem Hintergrund. Ein heute wichtiges Verfahren ist beispielsweise das sogenannte Interference alignment. Dabei wird versucht, die störenden Interferenzen verschiedener Übertragungsquellen ähnlich auszurichten (Ausrichtung = alignment), so dass nicht die Interferenz jeder Übertragungsquelle einzeln reduziert werden braucht, sondern alle in einem Schritt gemeinsam reduziert werden können. Das laufende Verbessern des Interference alignment Verfahrens ist ein typischer Nutzen mathematischer Grundlagenforschung in der Technik.Insbesondere sind hier Ergebnisse der metrischen Diophantischen Approximation nützlich, wie erklärt von Adiceam et.al. in der Arbeit Diophantine approximation and applications in interference alignment, die 2016 in der bedeutenden Zeitschrift Advances in Mathematics erschienen ist. Anschaulich geht es bei der metrischen Diophantischen Approximation um das gute Approximieren von reellen Zahlen durch rationale Zahlen. Das Projekt hat zu diesem Forschungsgebiet nützliche neue Beitrage geliefert.