Einige Operatorenklassen auf Räume von analytischen Funktionen

Das Ziel des Projektes ist es, die folgenden Klassen von Operatoren auf Räume von analytischen Funktionen zu untersuchen: - Carleson Einbettungen für vektor-wertige Masse im Rahmen der vektor-wertigen Bergman-Räume; - Integrationsoperatoren auf radial-symmetrisch gewichtete Fock-Räume. Die erste Richtung betrifft das grundlegende Problem der Carleson-Einbettungen für operator-wertige Masse im Rahmen der vektor-wertigen Bergman-Räume. Dieses Problem ist verwandt mit der Untersuchung der Bergman- Projektion für vektor-wertige Funktionen und dem Studium der Hankel-Operatoren mit operator-wertige Symbole. Für diese beiden Probleme kürzlich erschienene Arbeiten, die von der Antragstellerin mitverfasst wurden, zeigen dass bei der Einstellung von vektor-wertigen Bergman-Räumen die skalare Ergebnisse natürliche Verallgemeinerungen selbst in dem Fall haben, wenn das "Ziel-Raum" unendliche Dimension hat. Dies steht im Gegensatz zu der Situation auf vektor-wertige Hardy-Räume, wo die analogen Ergebnissen im unendlich- dimensionalen Fall scheitern. Die erworbene Erfahrung macht es realistisch zu erwarten, dass, während der klassische Carleson Einbettungssatz für Hardy-Räume nicht auf operator-wertige Masse erweitbar ist, ein entsprechendes Analogon des Satzes für vektor-wertige Bergman-Räume bewiesen werden kann. Die zweite Zielsetzung betrifft Untersuchungen der Beschränktheit, Kompaktheit und der spektralen Eigenschaften von Integrationsoperatoren vom Volterra-Typ und von verallgemeinerte Cesaro Operatoren auf radial-symmetrisch gewichtete Fockräume. Diese Aktivität baut auf der Basis von einigen Arbeiten der Antragstellerin, die sich mit dieser Art von Fragestellungen befassen. Die Untersuchungen werden auf Methoden der Funktionentheorie, Funktionalanalysis, harmonische Analysis und Operatorentheorie beruhen.

Die Mathematik ist eine Evolution aus dem menschlichen Gehirn, die ursprünglich aus der physikalischen Welt entstanden ist, dann aber begonnen hat, interne Fragen zu stellen, die nicht unmittelbar mit der äußeren Wirklichkeit verbunden sind, aber deren Antworten zusammen mit der Maschinerie, die in diesem Prozess entwickelt wurde, sich oft als nützlich für das Verständnis der Außenwelt erwiesen haben. Diese internen Fragen sind das Objekt der abstrakten Mathematik, ein weites Gebiet vom dem das gegenwärtige Projekt ein mikroskopisches Teil ist. Die Objekte unserer Studie sind die sogenannten Operatoren. Ein Operator ist eine Abbildung einer Menge in eine andere, von denen jede eine bestimmte Struktur aufweist. Operatoren spielen eine zentrale Rolle in mehreren Zweigen der Physik und Ingenieurwissenschaften, und insbesondere hat sich die moderne Operatorentheorie zunächst als natürliche Sprache der Quantenmechanik entwickelt. Viele Operatoren der Quantenmechanik haben nützliche Darstellungen auf Räume analytischer Funktionen. Eines der bedeutendsten Beispiele in diesem Sinne ist der Fock/Segal-Bargmann Raum, der seinen Ursprung in der Untersuchung des harmonischen Oszillators durch seine Zersetzung in die Fock-Boson Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren findet. Darauffolgend wurden kompliziertere Strukturen eingeführt, nämlich vektorwertige Räume der analytischen Funktionen, die aus Funktionen mit Werten in einem unendlich dimensionalen Raum bestehen. Abgesehen davon, dass sie durch Anwendungen zu Ingenieurwissenschaften motiviert sind, bringen diese Strukturen neue mathematische Erkenntnisse an. Zum Beispiel spielten sie eine entscheidende Rolle bei der Lösung eines berühmten langjährigen offenen Problem in Operatorentheorie, das sogenannte Halmos Problem, das von dem französischen Mathematiker Gilles Pisier gelöst wurde. Eines der Hauptergebnisse dieses Projektes ist die Erlangung von sogenannten Carleson-Einbettungs-Theoremen für spezifische vektorwertige Räume von analytischen Funktionen, die nützliche Werkzeuge bei der Untersuchung dieser abstrakten Strukturen sind und sich auch auf die in Pisiers Errungenschaften verwendeten Konzepte beziehen. Ein weiteres Ergebnis ist das Studium der verschiedenen Klassen von Operatoren auf Fock-Typ Räume. Schließlich ist eine ganz interessante, unerwartete Errungenschaft des Projektes die Beobachtung, dass eine rein komplexe analytische Methode genutzt werden kann, um ein Problem zu lösen, das in der Untersuchung von Wasserwellen auftritt, nämlich auf die Beschreibung von Partikelpfaden in einer Strömung. Diese ist eine weitere Bestätigung, dass es oft passiert, dass Methoden, die in der abstrakten Mathematik entwickelt wurden, sich dann als nützlich für Anwendungen in der realen Welt erweisen.