Splitting Verfahren für Vlasov-Poisson und Vlasov-Maxwell Gleichungen

Die Vlasov-Poisson und Vlasov-Maxwell Gleichungen bilden die grundlegendste Beschreibung eines (kollisionsfreien) Plasmas. Die Gleichungen beschreiben die Zeitentwicklung einer Partikel- Wahrscheinlichkeitsverteilung im 3+3 dimensionalen Phasenraum, welche mithilfe des elektromagnetischen Feldes wechselwirkt. Die Schwierigkeit, eine numerische Lösung zu erhalten, kann kurz in drei Punkten zusammengefasst werden: 1. Der sechsdimensionale Phasenraum impliziert, dass die Speicheranforderungen proportional zur sechsten Potenz in der Anzahl der Gitterpunkte steigt. 2. Die Vlasov Gleichung ist steif (d.h. die Zeitschrittweite ist durch die CFL Bedingung eingeschränkt) 3. Durch die Kopplung an die Maxwell/Poisson Gleichung ist das System stark nichtlinear. Für die Zeitintegration wurde ein numerisches Verfahren basierend auf dem Strang Splitting vorgeschlagen, welches die Basisfunktionen eines Interpolationsraumes verschiebt und das Resultat wieder in den entsprechenden Unterraum projeziert. Dieses Verfahren wurde in zahlreichen Plasmasimulationen verwendet. Allerdings gibt es bisher keine Konvergenzanalyse. Im magnetischen Fall wurde bisher auch nicht angedacht, ein Splittingverfahren höherer Ordnung in der Zeit zu verwenden. Solche Verfahren würden es erlauben, größere Zeitschritte zu machen und sich dementsprechend positiv auf die Effizienz auswirken. Ziele des Projektes sind: 1. eine numerische Analyse des Strang-Splittings für Vlasov-ähnliche Gleichungen durchzuführen; 2. diese Resultate auf Splittingverfahren höherer Ordnung zu verallgemeinern; 3. eine Konvergenzanalyse des vollständig diskretisierten Problemes durchzuführen (unter Verwendung einer discontinuous Galerkin Interpolation im Raum); 4. die vorhergehenden Resultate auf Verfahren höherer Ordnung im Raum zu verallgemeinern. Wir werden damit beginnen, die Eigenschaften eines abstrakten Anfangswertproblemes zu untersuchen, welches sowohl die Vlasov-Poisson als auch die Vlasov-Maxwell-Gleichungen als Spezialfall enthält. Die Fehleranalyse kann dann auf das Volldiskretisierte Problem erweitert werden, in dem die Raumdiskretisierung als eine Störung des analytischen Problems betrachtet wird. Um Splittingverfahren höherer Ordnung zu implementieren, müssen wir den Kraftterm der Vlasov-Gleichung an Zwischenschritten auswerten. Wir werden dafür ein effizientes Verfahren entwickeln. Weiters ist es von Interesse zu untersuchen wie sich Splittingverfahren höherer Ordnung verhalten, wenn die Anzahl der Gitterpunkte reduziert und dafür ein discontinuous Galerkin-Verfahren höherer Ordnung im Raum verwendet wird. Da der Phasenraum der Vlasov Gleichung sechsdimensional ist würde dies den Speicherbedarf drastisch reduzieren.

Im vorliegenden FWF-Projekt Splitting-Verfahren für die Vlasov-Poisson- und Vlasov- Maxwell-Gleichungen wurden effiziente numerische Verfahren zur Lösung der oben genannten Gleichungen konstruiert und deren Verhalten analysiert. Insbesondere haben wir uns mit Splitting-Verfahren in der Zeit in Kombination mit semi-Lagrange discontinuous Galerkin-Verfahren im Ort beschäftigt. Die in diesem Projekt konstruierten numerischen Verfahren reduzieren die benötigte Rechenzeit deutlich und können daher von Anwendern, die an der Lösung kinetischer Gleichungen interessiert sind, verwendet werden um kompliziertere Probleme zu lösen. Zusätzlich haben wir eine mathematische Analyse entwickelt, welche es uns ermöglicht das Verhalten dieser Verfahren zu beschreiben. Die wichtigsten Resultate, die im Laufe des Projektes erzielt wurden, sind wie folgt:Die Bereitstellung der ersten mathematisch rigorosen Konvergenzanalyse für das Splitting/semi-Lagrange discontinuous Galerkin-Verfahren. Die Schwierigkeit in diesem Zusammenhang (im Vergleich zu bisher veröffentlichten Resultaten) ist insbesondere, dass eine unstetige Approximation für das numerische Verfahren verwendet wird.Die Entwicklung eines hamiltonschen Splitting-Verfahrens für die Vlasov-Maxwell- Gleichung. Dieser Zugang ermöglicht uns in relativ einfacher Weise Verfahren höherer Ordnung zu konstruieren und besseres qualitatives Verhalten sicherzustellen (z.B. im Hinblick auf die Erhaltung der Energie). Beide Eigenschaften stellen eine deutliche Verbesserung im Vergleich zum bisherigen Stand der Forschung da.Die Techniken, die wir für die Vlasov-Gleichung entwickelt haben, wurden auch auf verwandte Systeme verallgemeinert. Insbesondere haben wir in dem Zusammenhang die Kadomtsev-Petviashivili-Gleichung untersucht, die beispielsweise zur Modellierung von Wasserwellen oder Wellen in Plasmen verwendet wird.Splitting-Verfahren zeigen Ordnungsreduktion, wenn inhomogene Randwerte betrachtet werden. In unserer Arbeit haben wir eine Korrektur entwickelt, die in der Lage ist, diese Ordnungreduktion für Diffusions-Reaktions-Gleichungen (wie sie in der chemischen Kinetik verwendet werden) vollständig zu eliminieren.