Datengetriebene und aufgabenorientierte Wahl des Regularisierungsraumes

Regularisierung ist eine Methode für eine approximative Rekonstruktion einer unbekannten funktionale Abhängigkeit von vorgegebenen verrauschten Daten. Diese Methode basiert sich oft auf einen Kompromiss zwischen dem Versuch, die gegebenen Daten bestmöglich anzupassen, und dem Wunsch, die Komplexität eines Datenfitters zu vereinfachen. Ausgehend von der Pionierarbeiten von Tikhonov und Wahba, Kimeldorf in der Mitte der sechziger Jahre ist der Hauptteil der Regularisierungstheorie herum das Thema der Wahl des Regularisierungsparameters, der nur eine einzige Zahl ist, gebaut worden. Gleichzeitig führt der neueste Trend der Regularisieung zu einer neuen Forschungslinie, die sich mit der adaptiven Wahl des Regularisierungsraumes beschäftigt und die bis jetzt viele ungelöste Fragen besitzt. Das Gesamtziel des aktuellen Projekts besteht darin, die umfassende theoretische Analyse und die ausführlichen numerischen Untersuchungen dieser Forschungslinie durchzuführen. Insbesondere werden zwei Forschungsrichtungen erkundet werden. Einer von denen führt zu der multi-penalty Regularisierung (MPR), in der nur die ersten theoretisch begründeten Ergebnisse der adaptiven Wahl von mehreren Regularisierungsparameter sind erhielt worden. Da die Idee der Verwendung von MPR attraktiv ist, denn die erstellt die Möglichkeit der Kombination mehreren Approximationsaufgaben wie Prognose bei der Interpolation oder Extrapolation, behauptet man, dass die Regularisierung in einem adaptiv gewählten Raum zu einer multi-penalty Regularisierung mit einer komponentenweisen Penalisation unter einigen Annahmen reduziert werden kann. Eine andere Forschungslinie taucht auf der Grenze zwischen Regularisierungstheorie und Meta-Learning auf. Grob gesprochen, Meta-Learning basierte Regularisierung bedeutet, dass die Instanzen des Regularisierungsverfahrens mit Erfahrung bzgl. ähnlichen Methoden in anderen Anwendungen gewählt sind. Solche Rahmen decken einige neulich vorgeschlagene Methoden, in denen nur eine einzige Instanz von Erfahrung extrahiert ist. Trotzdem scheint es erfolgversprechend zu sein, die Erfahrung für die Regelfestellung für die Wahl der Regularisierungsinstanzen in Abhängigkeit von Eigenschaften (Meta-Features) einer bestimmten Anwendung zu benutzen. Es ergibt sich, dass solche Methode in der Regularisierungstheorie bis jetzt nicht systematisch studiert wurde, und das aktuelle Projekt strebt Licht auf dieses erfolgversprechend, aber momentan noch nicht ausgeforschte Gebiet, zu werfen. Beide von den obengenannten Projektziele können künftig einen Mainstream in der Regularisierungstheorie aufbauen und können für einige praktische Anwendungen, wie z.B. Geomathematik und Diabetologische Technologie, eine fundamentale Rolle spielen.

Die Regularisierung schlecht-gestellter Probleme basiert auf einem Kompromiss zwischen der Anpassung der Lösung an die gegebenen Daten und dem Wunsch, die Komplexität des Lösers, der typischer Weise in einem zuvor bestimmten Raum operiert, gering zu halten. Die ist im Gegensatz zum Projekt P25424-N26, in dem die Möglichkeit studiert wurde, wie durch eine adaptive Anpassung des Raumes in dem die Datenanpassung stattfindet, die Leistung des Lösers verbessert werden kann.Die hauptsächlichen Bemühungen richteten auf zwei Arten, den Regularisierungsraum zu bestimmen: Regularisierung durch multiple Strafterme und Aggregierung verschiedener Löser. Durch das Projektteam wurden fundierte Ergebnisse zu beiden Ansätzen erzielt. Deren Sinnhaftigkeit wurde demonstriert anhand von Beispielen aus der Geomathematik, dem maschinellen Lernen, und der Diabetes-Technologie.Eines der besonderen Ergebnisse ist ein neuer Regularisierungsansatz, der darin besteht, verschiedene approximative Lösungen mittels der sogenannten 'linear functional strategy' zu aggregieren. Dieser Zugang wurde zur Vorhersage von Unterzuckerung (Hypoglycemia) von Diabetespatienten benutzt; verschiedene bekannte Vorhersage-Mechanismen wurden aggregiert mittels des oben beschriebenen Ansatzes. Der resultierende Algorithmus wurde in einer eigens entwickelten Applikation für Smartphones implementiert. Er erweist sich als ein zuverlässiges Mittel der Vorhersage, und er hat das Potential zum Einsatz in der täglichen Nutzung durch die Patienten zur Selbstkontrolle des Blutzuckergehalts. Die Forschungen wurden in Zusammenarbeit mit klinischen Partnern und Kollegen das Projekts AMMODIT, gefördert im Rahmen des EU Horizon 2020 Programms, durchgeführt.