Schnelle Zeitbereichs Randelementmethode für die einseitig gekoppelte Thermoelastizität

In vielen Anwendungen im Ingenieurwesen treten elastische und thermische Effekte gekoppelt auf. Ein Beispiel aus dem Automobilbau ist das Presshärten. In dieser Anwendung wird das Werkstück zuerst erwärmt und dann umgeformt. Dabei ist nicht nur die zu erzielende Form des Werkstückes wichtig, sondern auch das Materialverhalten. Dies kann durch eine gezielte Kühlung des Werkzeuges gesteuert werden. Solcher Art hergestellter Bauteile werden im Automobilbau z.B. für die A-Säule benutzt. Die Simulation des gesamten Umformprozesses, einschließlich der Gefügeveränderung im Metall ist eine große Herausforderung, wobei auch der das Werkzeug betreffende Anteil nicht zu vernachlässigen ist. Gerade beim Werkzeug mit seinen eigentlich einfachen physikalischen Prozessen ist eine effiziente Simulation, die auch eine schnelle Vernetzung mit einbezieht, sinnvoll. Sowohl die elastische Verformung, als auch das thermische Verhalten des Werkzeuges kann mit einseitig gekoppelten linearen Differentialgleichungen beschrieben werden. Weiterhin sind nur die Ergebnisse auf der Oberfläche interessant. Daneben ist das Vernetzen des Werkzeuges auf Grund der komplizierten Anordnung der Kühlkanäle bei einem Volumennetz sehr aufwändig verglichen mit einem Oberflächennetz. Diese Punkte sprechen für eine Simulation des Werkzeuges mit der Randelementmethode (engl. Boundary Element Method (BEM)). Allerdings ist für eine industrielle Anwendung die Entwicklung von sogenannten "schnellen Methoden (fast BEM)" nötig. Im beantragten Projekt soll für die thermische Simulation die "Fast Multipole Method" in Raum und Zeit eingesetzt werden. Dabei wird eine auf Interpolation basierende Kernentwicklung benutzt. Die Lösung der elastischen gekoppelten Gleichung wird entweder mit "Adaptive Cross Approximation" oder auch mit der "Fast Multipole Method" beschleunigt. Ein weiterer zu untersuchender Aspekt ist die Verwendung von unterschiedlichen Netzen für die thermische und die elastische Rechnung.

In vielen Anwendungen im Ingenieurwesen treten elastische und thermische Effekte gekoppelt auf. Ein Beispiel aus dem Automobilbau ist Presshärten. In dieser Anwendung wird das Werkstück zuerst erwärmt und dann umgeformt. Dabei ist nicht nur die zu erzielende Form des Werkstückes wichtig, sondern auch das Materialverhalten. Dies kann durch eine gezielte Kühlung des Werkzeuges gesteuert werden. Solcher Art hergestellter Bauteile werden im Automobilbau z.B. für die A-Säule benutzt. Die Simulation des gesamten Umformprozesses, einschließlich der Gefügeveränderung im Metall ist eine große Herausforderung, wobei auch der das Werkzeug betreffende Anteil nicht zu vernachlässigen ist. Gerade beim Werkzeug mit seinen eigentlich einfachen physikalischen Prozessen ist eine effiziente Simulation, die auch eine schnelle Vernetzung mit einbezieht, sinnvoll. Sowohl die elastische Verformung, als auch das thermische Verhalten des Werkzeuges kann mit einseitig gekoppelten linearen Differentialgleichungen beschrieben werden. Weiterhin sind nur die Ergebnisse auf der Oberfläche interessant. Daneben ist das Vernetzen des Werkzeuges auf Grund der komplizierten Anordnung der Kühlkanäle bei einem Volumennetz sehr aufwändig verglichen mit einem Oberflächennetz. Diese Punkte sprechen für eine Simulation des Werkzeuges mit der Randelementmethode (engl. Boundary Element Method (BEM)). Da das Problem einseitig gekoppelt ist, kann der thermische Teil separat berechnet werden. Dies entspricht der Lösung der parabolischen Wärmeleitungsgleichung. Im vorliegenden Projekt wurde eine Galerkin-BEM mit Hilfe der Fast Multipole Method effizient formuliert und umgesetzt. Die Kernentwicklung erfolgte mit der Chebyschev-Interpolation im Ort und der Lagrange-Interpolation in der Zeit. Dies führt auf eine optimale BE-Formulierung mit einer annährend linearen Komplexität. Der elastische Anteil ist mit der so-genannten generalized Convolution Quadrature Method realisiert worden, sodass damit erstmalig ein variabler Zeitschritt im Rahmen einer BE-Formulierung möglich ist. Um diesen Anteil ebenfalls mit einer fast BEM zu beschleunigen ist jedoch noch etwas Analysis nötig um das Konvergenzverhalten der gekoppelten Rechnung zu bestimmen. Die Arbeiten dazu sind noch nicht abgeschlossen.