Hardy Räume in Kotani-Last und anderen Spektralproblemen

Neueste Entwicklungen in der Spektraltheorie von Schrödinger Operatoren, Jacobi- und CMV-Matrizen, welche in einigen der renommiertesten mathematischen Fachzeitschriften publiziert wurden, sowie unser eigener, neu erworbener Grad an Verständnis bezüglich Funktionentheorie in unendlichfach zusammenhängenden Gebieten, bieten eine solide Grundlage, um sowohl alte, als auch neue Probleme in Angriff zu nehmen. Diese umfassen: 1) Kotani-Last Problem, 2) Killip-Simon Problem für Mengen mit endlich vielen Lücken, 3) Gemischte inverse Spektralprobleme für reflectionless Jacobimatrizen, 4) Parametrische Beschreibung von Spektraloberflächen multi- diagonaler Operatoren, 5) Widombedingung für Resolventengebiete von Schrödinger Operatoren. Wir bemühen uns nun um deren Beschreibung. Das Kotani-Last Problem benötigt einen Beweis dafür, dass aus der Existenz einer absolut stetigen Komponente im Spektrum eines ergodischen Operators folgt, dass er fast periodisch ist. Avila äußerte sich dazu: "This problem has been for a while, and became a central topic of the theory, after recent popularization (by Simon, Jitomirskaya, and Damanik)". Er selbst verneinte diese Vermutung. Natürlich ist es wichtig und äußerst herausfordernd nicht nur diese Vermutung zu beweisen bzw. zu widerlegen, sondern auch, dieses interessante Phänomen zu erklären. Zur Zeit gibt es zumindest zwei Programme, die einen Bezug zu diesem Thema aufweisen: von Kotani, zur Grassmann Mannigfaltigkeit und Spektraltheorie von 1-D Schrödinger Operatoren, und von Remling, zu reflectionless Jacobimatrizen. Unsere Herangehensweise ist dual zu jener von Avila und greift auf Methoden der inversen Spektraltheorie zurück. Man betrachte eine reelle kompakte Menge in allgemeiner Lage in welcher (1) alle reflectionless Jacobimatrizen mit entsprechendem Spektrum keine singulären Komponenten besitzen und (2) deren Komplement ein Widomgebiet ist. Wir behaupten, dass solche Operatoren ergodisch sind und dass eine Art Schalter mit zwei Positionen existiert: das direkte Cauchy Theorem ist in diesem Gebiet entweder erfüllt oder nicht. Im ersten Fall sind alle reflectionless Matrizen fast periodisch und im zweiten Fall erwarten wir, dass dies für keine gilt. Wir können Beispiele von solchen kompakten Mengen geben und zeigen somit die Existenz von Klassen von ergodischen Matrizen mit absolut stetigem Spektrum ohne fast-Periodizität. Der Satz von Killip-Simon ist wahrscheinlich eine der wichtigsten Errungenschaften in der Spektraltheorie von Jacobimatrizen und orthogonalen Polynomen des letzten Jahrzehnts. Zusammen mit Damanik wurde dieser Satz auf den periodischen Fall erweitert. Obwohl einige wertvolle Teilresultate verbucht werden konnten, ist die Erweiterung des Satzes von Damanik-Killip-Simon auf den allgemeinen Fall mit endlich vielen Lücken und ohne Periodizität noch ausständig. Der Beweis des ursprünglichen Satzes basiert auf Sum Rules und die Verallgemeinerung auf den periodischen Fall auf sogenannte "Magic Formulas". Wir geben einen Weg an neue Sum Rules, sowie ein Pendant zur Magic Formula im nicht periodischen Fall zu finden.

Für dieses Projekt wurden zwei Hauptprobleme vorgeschlagen: das Kotani-Last Problem und das Killip-Simon Problem. Das erste Problem stellt die Frage ob die Existenz einer absolut stetigen Komponente im Spektrum einer ergodischen Familie von 1-D Schrödinger Operatoren fast Periodizität ihrer Koeffizienten impliziert. Gemeinsam mit A. Volberg ist es nicht nur gelungen ein Gegenbeispiel zu konstruieren, sondern eine umfassende Theorie für diese Fragestellung zu entwickeln. Unter Annahme von drei natürlich erscheinenden Axiomen, konnten wir zeigen, dass eine analytische Bedingung an das Resolventengebiet als eine Art Ein- und Ausschalter für fast Periodizität wirkt. Falls das Direct Cauchy Theorem (DCT) gilt, dann sind alle reflectionless Operatoren mit gegebenem Spektrum fast periodisch und falls das DCT nicht gilt, dann erfüllt keine der Operatoren diese Eigenschaft. Wir haben uns tiefgreifend mit der DCT Bedingung beschäftigt und konnten die Existenz eines Gebietes zeigen, dessen reflectionless Maße auf dem Rand alle absolut stetig sind und trotzdem gilt DCT nicht. D.h. das Kotani-Last Problem wurde vollständig (negativ) beantwortet. Das entsprechende Resultat wurde bereits in Inventienes Mathematicae publiziert. Der ursprüngliche Satz von Killip und Simon beschreibt wie sich Hilbert-Schmidt Perturbationen des diskreten freien Schrödinger Operators auf dessen Spektrum auswirken und umgekehrt. Gemeinsam mit Damanik ist es Killip und Simon gelungen dieses Resultat für Perturbationen von periodischen Jacobi Matrizen zu verallgemeinern. Deren Zugang basiert auf der Charakterisierung aller periodischen Jacobi Matrizen anhand gewisser polynomialer Operatoridentiäten, die sie Magic Formula nennen. Eine Charakterisierung die nur im periodischen Fall möglich ist. Durch die Einführung einer neuen Klasse von Operatoren, die wir GMP Matrizen nennen, ist es uns gelungen eine neue Magic Forumula-Charakterisierung für diese neue Klasse von Operatoren für beliebige Vereinigungen von Intervallen zu erhalten. Wir erhielten eine Verallgemeinerung des Satzes von Killip und Simon für beliebige Intervalle für GMP Matrizen. Um dieses Resultat für Jacobi Matrizen zu erweitern, fanden wir ein neues integrables System, welches wir Jacobi flow nennen. Beide neuen mathematischen Objekte (GMP Matrizen und Jacobi flow) führten zur vollständigen (positiven) Beantwortung des Killip-Simon Problems. Dieses Resultat wurde in Annals of Mathematics eingereicht und unter anderem in einem Spezialseminar am Isaac Newton Institut sowie in einem einmonatigen Mini-Seminar an der Hebrew University of Jerusalem präsentiert. Die oben angeführten Forschungsfortschritte haben bereits zu einem neuen genehmigten FWF-Projekt geführt. Weiters hat der Ph.D. Student Eichinger im Zuge des Projekts seine Dissertation geschrieben, die sich mit der Spektraltheorie periodischer GMP Matrizen und mit der Asymptotik von Chebyshev Polynomen befasst.