Symmetrische Gruppen und geometrische Darstellungstheorie

Das vorliegende Projekt ist in der reinen Mathematik angesiedelt, und zwar im Gebiet der Darstellungstheorie. Die Darstellungstheorie studiert abstrakte algebraische Strukturen, indem sie ihre Elemente als lineare Transformationen von Vektorräumen auffasst. Eine Darstellung beschreibt die Elemente eines algebraischen Objektes durch Matrizen und seine algebraischen Operationen durch Matrixadditionen und -multiplikationen. Die Darstellungstheorie wird so zum effizienten Werkzeug, da sie Problemstellungen aus der abstrakten Algebra in gut zugängliche Fragestellungen der linearen Algebra übersetzt. Zu den algebraischen Objekte, die auf diese Weise dargestellt werden können, gehören Gruppen, assoziative Algebren und Lie Algebren. Die Gruppenalgebren befinden sich unter den wichtigsten Beispielen assoziativer Algebren. Ihre Struktur wird durch diejenige der unterliegenden Gruppe bestimmt. Ist die Gruppe endlich, so entspricht die Gruppenalgebra einem endlich-dimensionalen Vektorraum. Eine solche Algebra kann man als Produkt von Algebren schreiben, das sich nicht weiter zerlegen lässt. Diese sogenannten unzerlegbaren Summanden werden die Blöcke der Algebra genannt. Ziel unseres Projektes ist es, bei Gruppen mit nicht-abelschen Defekt einen Beitrag zur Strukturtheorie der Blöcke ihrer Gruppenalgebren zu leisten. Die jüngsten Entwicklungen der Lietheorie und der höheren Darstellungstheorie haben völlig neuartige Blickwinkel eröffnet. Das vorliegende Projekt ist inspiriert vom Zusammenspiel zwischen der Darstellungstheorie von symmetrischen Gruppen und derjenigen von Kac-Moody Algebren. Ausserdem haben die in Zusammenhang mit den kanonischen Basen eingeführte Cluster Algebren zur Entdeckung von Verbindungen zu zahlreichen Gebieten der Mathematik geführt. Um mit solchen verschiedenen Familien von Algebren arbeiten zu können, schlagen wir darstellungstheoretische, kombinatorische, homologische, geometrische und rechnergestützte Methoden vor. Dieser Ansatz vereint klassische Methoden (deren Ursprung in den Arbeiten von James zu finden ist) ebenso wie neue Methoden, die aus der Theorie der Kac Moody Algebren und Quantengruppen stammen. Unsere Wahl erscheint uns äusserst vielversprechend, unter anderem, da die gewählten Methoden über das Potential verfügen, innerhalb von kurzer Zeit zu überzeugenden Resultaten zu führen. Die Methoden, die bisher bei der Untersuchung der Darstellungstheorie von symmetrischen Gruppen eingesetzt worden sind, haben leider nicht zu den gewünschten Erfolgen geführt. Aus diesen Gründen erscheint es uns nötig und sinnvoll, neue, effiziente Methoden wie die höhere Darstellungstheorie, Kategorifizierung und geometrische Realisierungen anzuwenden, um allgemeine Resultate über Blöcke von symmetrischen Gruppen und Hecke Algebren erreichen zu können. Der jetzige Zeitpunkt ist optimal, den Schwung der Entwicklungen bei diesen neuartigen Konzepten auszunutzen, um zu weitreichenden Resulte in der Darstellungstheorie der symmetrischen Gruppen zu gelangen.

Das Projekt ist in der reinen Mathematik angesiedelt, in der Darstellungstheorie von assoziativen Algebren und in der Lie Theorie. Ziel des Projektes war, Darstellungen von symmetrischen Gruppen, Cluster Algebren und verwandte Algebren zu studieren. Der Schwerpunkt lag auf graduierten Strukturen auf diesen Algebren. Eines der Hauptresultate beinhalteteeine Bestimmung aller endlich dimensionalen assoziativen Algebren, die keine nicht-trivialen Graduierungen erlauben [2]. Auch ein Hauptresultat ist die Berechnung der Erweiterungen zwischen (Rang eins) Cohen-Macaulay Moduln für eine Algebra von Grassmannschem Typ [1]. Dies ist der erste Schritt in Richtung der Konstruktion des Auslander-Reiten Köchers der zugehörigen Cluster Kategorie.Darstellungstheorie ist ein Zweig der Mathematik, der abstrakte algebraische Strukturen untersucht, indem er ihre Elemente als lineare Transformationen von Vektorräumen darstellt. Eine solche Darstellung macht aus einem algebraischen Objekt ein konkretes, indem es seine Elemente als Matrizen beschreibt und die algebraischen Operationen als Matrizenaddition und -multiplikation. Darstellungstheorie hilft, die Probleme der abstrakten Algebraauf Probleme der linearen Algebra zu reduzieren. Mit dieser Methode kann man Gruppen, assoziative Algebren und Lie Algebren untersuchen, insbesondere Gruppenalgebren. Ist die Gruppe endlich, dann hat die Gruppenalgebra endliche Dimension, d.h. als Vektorraum ist sie endlich dimensional. Eine solche Algebra können wir als Produkt von Algebren schreiben, die sich nicht mehr weiter reduzieren lassen. Das sind die sogenannten Blöcke der Algebra. Mit dem Projekt haben wir zur Strukturtheorie von Blöcken von Algebren beigetragen.Entwicklungen aus der Lie-Theorie und aus der höheren Darstellungstheorie haben in den letzten Jahren neue Perspektiven eröffnet. Die Zusammenhänge zwischen der Darstellungstheorien der symmetrischen Gruppen und der Kac-Moody Algebren, zwischen kanonischen Basen und Cluster Algebren dienten uns als Motivation. Der Zugang zu den oben erwähnten Familien von Algebren war darstellungstheoretisch, mit kombinatorischen, homologischen, geometrischen Methoden. Damit kombinierten wir klassische und neue Methoden, um möglichst vielseitige Wege bei der Entwicklung neuer Resultate verwenden zu können.Bibliographie:[1] Extension between CM-modules for Grassmannian cluster categories, to appear in J.Alg. Comb, arxiv:1601.05943.[2] Existence of gradings on associative algebras, Volume 44, 2016 - Issue 7, (2016), 3069-3076. Green OA