Auflösung von Singularitäten

Die Auflösung der Singularitäten algebraischer Varietäten ist eines der schwierigsten Probleme der Algebraischen Geometrie, mit weit reichenden Auswirkungen auf viele andere Gebiete der Mathematik. Sie besagt, dass die Lösungsmenge eines polynomialen Gleichungssystems in mehreren Variablen durch einen glatten Raum parametrisiert werden kann. Dadurch erlauben implizite Gleichungen zumindest theoretisch eine Konstruktion ihrer Lösungsmenge. Das ist ein fundamentales und sehr wichtiges Resultat. Das eingereichte Projekt wird in diesem Kontext zwei zentrale, noch immer ungelöste Fragen behandeln und zu lösen versuchen: Die effektive und effiziente Konstruktion von Auflösungen in Charakteristik Null, und die Existenz von Auflösungen in positiver Charakteristik p. In Charakteristik Null gewährleistet Hironaka`s Theorem die Existenz von Auflösungen - aber ihre Konstruktion ist so kompliziert, dass selbst einfache Beispiele in drei oder vier Variablen nicht durchgerechnet werden können. Und selbst in den Fällen, bei denen die Rechnungen ans Ziel führen, liefert Hironaka`s Verfahren eine Vielzahl von lokalen Daten, die die Aus- und Verwertung dieser Daten unmöglich machen. Das im Projekt geplante Verfahren geht neue Wege, das speziell die Berechenbarkeit von Auflösungen verbessern soll. Ein Vorschlag ist die Verwendung von sog. Arc Spaces und Techniken der unendlich dimensionalen Differentialgeometrie. Damit sollen viel kompaktere Beschreibungen der Auflösung ermöglicht werden. Dies würde einen lang angestrebten Durchbruch darstellen. Die zweite Schiene des Projektes ist der Fall positiver Charakteristik. Seit über fünfzig Jahren ist dieses Problem offen, die letzten Jahre brachten einen ganzen Schwung von neuen Zugängen und Einsichten, darunter die grundlegende Theorie der Känguru-Singularitäten des Antragstellers. Die Zeit scheint reif für ein entschlossenes Vorgehen auf breiter Front. Ein Durchbruch würde eine ganze Reihe von Anwendungen nach sich ziehen, insbesondere in der arithmetischen algebraischen Geometrie, in der Zahlentheorie, sowie in der motivischen Integration. Der im Projekt geplante Zugang geht über das Studium von Quotienten von Polynomringen bezüglich dem Unterring p-ter Potenzen. Das wesentliche Problem ist die Entwicklung eines signifikanten und handhabbaren Multiplizitätsbegriffes für solche Quotienten. Die klassische Invariante der Residual-Ordnung versagt hier, da sie unter Blowups in positiver Charakteristik ansteigen kann und damit die Induktion verhindert. Der Antragsteller hat neue Invarianten eingeführt, die die strukturellen Komplikationen berücksichtigen und die wesentlich besser transformieren. Es bestehen Aussichten, dass die Weiterentwicklung dieser Invarianten zu einem weitaus besseren Verständnis von Singularitäten in positiver Charakteristik führen werden.