Fixpunkt-Sichtweise funktionaler Methoden der Quantendynamik

Um das Verhalten wechselwirkender Vielteilchen-Systeme, wie zum Beispiel Atome oder Moleküle, richtig zu beschreiben, verwendet man die Quantentheorie. Obwohl die Gleichungen, welche die Dynamik solcher Vielteilchen-Systeme beschreiben, bekannt sind, sind deren Lösungen, die als Wellenfunktionen bezeichnet werden, im Allgemeinen unbekannt. Selbst neueste Supercomputer können diese Wellenfunktionen üblicherweise nicht berechnen. Diese Tatsache stellt die Wissenschaft in der Praxis vor ein großes Problem, weil mit Hilfe von Wellenfunktionen das Verhalten von Quantensystemen vorhergesagt werden soll. Daher versucht die Vielteilchentheorie numerisch einfachere Gleichungen zu finden, die nur spezielle Messungen beschreiben. Solche numerisch einfacheren Gleichungen werden zum Beispiel im Zusammenhang mit der zeitabhängigen Dichtefunktionaltheorie abgeleitet. Diese reformuliert die Quantentheorie als funktionale Theorie der Einteilchen- Dichte (die Wahrscheinlichkeit ein Teilchen des gesamten Systems an einem bestimmten Ort im Raum zu finden). Die zeitabhängige Dichtefunktionaltheorie wird in vielen verschiedenen Gebieten der Physik, der Chemie und der Materialwissenschaften angewandt. Zur Berechnung der Ergebnisse müssen jedoch Näherungen gemacht werden, die manchmal zu falschen Vorhersagen führen. Ausgehend von einer Formulierung in Form eines Fixpunkt-Problems sollen in diesem Projekt neue und verlässlichere Näherungen gefunden werden. Ziel ist nicht nur eine mathematisch rigorose Formulierung der zeitabhängigen Dichtefunktionaltheorie zu präsentieren, sondern auch verwandte zeitabhängige funktionale Methoden exakt auszuformulieren. Darauf aufbauend werden grundlegende, aber weitgehend unerforschte Aspekte zeitabhängiger funktionaler Theorien untersucht. Die Fixpunkt-Formulierung stellt weiters eine konstruktive Technik zur Berechnung exakter Lösungen von funktionalen Theorien zur Verfügung. Diese exakten Ergebnisse sollen im Speziellen dazu genutzt werden, um bessere Näherungen für die Praxis zu konstruieren. Darüber hinaus ist die Fixpunkt-Methode auch eine neuer Ansatz zur Kontrolle von Quantensystemen und wird speziell im Zusammenhang mit Quantenoptik und Quanteninformation entwickelt und untersucht. Ziele dieses Projektes sind folglich, die Grundlagen funktionaler Methoden der Vielteilchen-Quantendynamik zu untersuchen, verlässlichere Näherungen für die Praxis abzuleiten und neue Anwendungsgebiete für diese Theorien zu erschließen.

Quanta rhei: Fluidformulierung der QuantenphysikAbseits vom Welle-Teilchen-Dualismus lässt sich die Quantenphysik auch in Form von Fluidgleichungen formulieren. In diesem FWF-Projekt wurden die Grundlagen dieser Beschreibung untersucht und auf Quantensysteme, die mit Photonen wechselwirken, erweitert. Da die Quantenfluidbeschreibung die Grundlage höchst effizienter numerischer Methoden bildet, kann damit der Einfluss der Photonen auf chemische Prozesse untersucht werden.Lässt man die fundamentale Frage nach dem Messprozess in der Quantenphysik außer Acht, dann kann man das statistische Verhalten von mikroskopischen Systemen wie Atome oder Moleküle mittels der Lösung einer Schrödinger-Gleichung bestimmen. Diese Lösung ist üblicherweise in Form einer sogenannten Wellenfunktion gegeben, aus der die Wahrscheinlichkeit ein gewisses Messergebnis zu erhalten ableitbar ist. Dies ist genug um die meisten chemischen und physikalischen Eigenschaften von Materie zu bestimmen. In der Praxis kann die Schrödinger-Gleichung jedoch nur für vereinfachte Probleme gelöst werden, weshalb man alternative, numerisch effizientere Herangehensweisen entwickelt hat. Eine der erfolgreichsten Herangehensweisen ist die sogenannte Dichtefunktionaltheorie, welche anstelle der Wellenfunktion die Ladungsdichte zur Bestimmung aller physikalischen Eigenschaften verwendet. Die Ladungsdichte gehorcht dabei einer Fluidgleichung, welche die lokalen Kräfte beschreibt, die auf die Ladungsdichte wirken.Eine der offenen Fragen in diesem Feld war, wie man die Wechselwirkung von Materie mit den Photonen, den Quantenteilchen des Lichtes, mittels einer solchen Fluidformulierung fassen kann. Dieses FWF-Projekt führte eine solche Erweiterung der gängigen Dichtefunktionaltheorie ein.Dabei wurde zuerst die mathematische Struktur der Fluidgleichungen genauer untersucht und aus den gewonnen Erkenntnissen eine universelle Herangehensweisen für allgemeine Probleme der Quantenphysik gewonnen.Überraschenderweise ergab sich, dass die Wechselwirkung mit den Photonen durch ein klassisches, elektromagnetisches Feld beschrieben werden kann, das jedoch in höchst komplexer Weise mit der Ladungsdichte gekoppelt ist. Aufbauend darauf lässt sich die Dichtefunktionaltheorie nun auch auf neuartige Probleme anwenden, bei denen chemischeProzesse durch die Wechselwirkung mit Photonen beeinflusst und abgeändert werden können.So zeigt sich zum Beispiel, dass die Leitfähigkeit, ja sogar die Struktur von Molekülen in einem optischen Resonator gezielt verändert werden kann. Diese gezielte Kontrolle durch Licht nährt die Hoffnung, dass diese Grundlagenergebnisse auch technologische Anwendungen finden.