Projektive Dualität, Stabilitätsbedingungen und Anwendungen in der Physik

Das Ziel dieses Antrags ist es die mathematische Theorie hinter diesen neuen kategorientheoretischen Strukturen zu entwickeln und sie auf eine große Klasse von Problemen in der Physik und Mathematik anzuwenden. Wir führen einen Rahmen der Geometrisierung von Kategorien ein, in dem geometrische Strukturen auf neuen Wegen aus Kategorien abgeleitet werden. Die neu entwickelten kategorischen und geometrischen Strukturen werden in der Physik und in überraschenden Gebieten der Mathematik verwendet. Zusätzlich zur algebraischen und symplektischen Geometrie (wo diese Theorien natürlicherweise Anwendung finden), schlagen wir neue Anwendungen auf dynamische Systeme, Differentialgleichungen und Zahlentheorie vor. Die Anwendungen von höheren kategorischen Strukturen reichen von rein physikalischen Probleme - z.B. Fermionen und globale Symmetrien in höher dimensionale Quantenfeldtheorien zu integrieren (relevant für das Verständnis des fraktionalen Quanten Hall Effekts und seiner höherdimensionalen Analoga) - bis hin zur Lösung seit langem offener mathematischer Probleme - z.B. des Beweises, dass eine generische vierdimensionale Quartik nicht rational ist.

Ziel dieses Vorschlags ist es, die mathematische Theorie hinter diesen neuen kategorischen Strukturen zu entwickeln und sie zur Lösung einer Vielzahl von Problemen der Physik und Mathematik anzuwenden.Wir stellen einen Rahmen der Geometrie von Kategorien vor, in dem geometrische Strukturen aus den Kategorien auf neue Weise erscheinen. Die neu entwickelten kategorischen und geometrischen Strukturen werden sowohl in der Physik als auch in unerwarteten Bereichen der Mathematik eingesetzt. Neben der algebraischen und symplektischen Geometrie (ein natürlicher Ort, um diese Theorien einzusetzen) schlagen wir auch neue Anwendungen für dynamische Systeme, Differentialgleichungen und Zahlentheorie vor.Die wichtigste physikalische Quelle für diese kategorischen Entwicklungen ist die Spiegelsymmetrie, eine physikalische Dualität zwischen N = 2 superkonformalen Feldtheorien. In den 90er Jahren interpretierte Maxim Kontsevich dieses Konzept aus der Physik als eine tiefe und allgegenwärtige mathematische Dualität, die heute als Homological Mirror Symmetry (HMS) bekannt ist. Sein Vortrag im Jahr 1994 begann eine Explosion der Aktivität in der mathematischen Gemeinschaft, die zu einer bemerkenswerten Synergie von verschiedenen mathematischen Disziplinen führen: symplektische Geometrie, algebraische Geometrie und Kategorientheorie. HMS ist heute der Eckpfeiler eines immensen Feldes der aktiven mathematischen Forschung.Zahlreiche Arbeiten einer Reihe von Autoren haben das Zusammenspiel von Spiegelsymmetrie und HMS mit einer breiten Palette von neuen und subtilen mathematischen Strukturen gezeigt. Wir betrachten insbesondere Methoden aus der Floer-Theorie Lagrangescher Mannigfaltigkeiten, integrierbaren Systemen und Wall--Crossing, abgeleiteten und höheren Kategorien und nichtkommutativen Hodge-Strukturen, von denen jede ein immenses unabhängiges mathematisches Interesse hat und die jeweils eng mit HMS verbunden sind. Solche Verbindungen haben HMS als dominierende Kraft in der modernen Geometrie etabliert. Die Theorie der Gaps and Spectra ist eine der spektakulärsten Errungenschaften der HMS.Wir betonen hier einige der bemerkenswerten jüngsten Ergebnisse. Der Bericht ist wie folgt organisiert. Wir beginnen mit den erhaltenen Ergebnissen. Dann präsentieren wir die Disseminationsbemühungen und breiten Auswirkungen des Projekts und berichten über die Konferenz.Die Theorie der linearen Systeme ist 2000 Jahre alt. Kürzlich haben wir eine neue Lesung dieser Theorie vorgeschlagen. Wir führten die Theorie der kategorischen Kähler-Metriken ein. Wir entwickeln die Theorie der kategorischen linearen Systeme weiter.Wir nehmen einen neuen Blick auf das kategorische lineare System, das die Technik der Garben von Kategorien anwendet. Wir kombinieren diese Technik mit der Theorie der kategorischen linearen Systeme und der Theorie der kategorischen Kähler-Metrik, um zwei Parallelen zu bauen:1. Eine Parallele zur Donaldson-Theorie von Kähler Einstein Metriken.2. Eine Parallele zur Donaldson-Theorie der polynomialen Invarianten.Diese Richtungen haben einen gewaltigen Einfluss auf einige klassische Fragen der algebraischen und symplektischen Geometrie. Die letzten zwei Richtungen, die in den letzten 3 Jahren entwickelt wurden, sind wirklich bahnbrechend und öffnen neue Bereihe der Spitzenforschung. Wir haben exzellente Postdocs und sehr gut vorbereitete Studenten ausgebildet - A. Noll, F. Haiden, G. Dimitrov. Wir haben auch mit zwei Besuchern, Y. Liu und L. Grama, gearbeitet. Die Ergebnisse, die wir erhalten haben, wurden in mehreren Beiträgen aufgezeichnet und 3 Konferenzen erlaubten uns, unsere neuen Ergebnisse zu verbreiten. Das oben genannte Projekt hat erhebliche und breite Auswirkungen: 1. Vertiefung der Verbindung mit der theoretischen Physik. 2. Schaffung einer unerwarteten Verbindung zwischen Kategorientheorie, Komplexität und dynamischen Systemen.3. Helfen, eine neue Generation von Forschern durch mehrere zu erziehen. Unsere Arbeit hat eine breite pädagogische Wirkung und bezieht sich auf Physik.