Robuste Präkonditionierung und Hochskalierung von Problemen mit inseparablen Skalen

Viele Vorgänge in den Natur- und Ingenieurwissenschaften werden durch partielle Differentialgleichungen (PDEs) beschrieben. Meistens sind analytisch exakte Lösungen dieser PDEs nicht verfügbar. Aus diesem Grund ist man daran interessiert Lösungen zu geeigneten Diskretisierungen der betrachteten PDEs zu finden. In dem aktuellen Forschungsprojekt werden wir uns insbesondere mit den Gleichungen der linearen Elastizität sowie den Maxwell Gleichungen beschäftigen. Da die sich aus einer Diskretisierung ergebenden linearen Gleichungssysteme üblicherweise zu groß für die Anwendung direkter Lösungsverfahren sind, ist die Herleitung effizienter iterativer (Mehr-Level-)Verfahren geboten. Die Konvergenzraten dieser Verfahren sollte dabei insbesondere unabhängig von der Problemgröße und von Problemparametern sein. Wichtige Beispiele für Problemparameter sind stark schwankende Koeffizienten. Dabei sind wir vor allem an Situationen interessiert in denen die Koeffizientenänderungen auf mehreren nicht klar voneinander getrennten Skalen passieren. Beim Erstellen von robusten Mehr-Level-Verfahren spielt die gewählte Vergröberungsstrategie eine zentrale Rolle. In diesem Forschungsprojekt beabsichtigen wir eine Folge von Funktionenräumen mit abnehmenden Dimensionen basierend auf lokalen verallgemeinerten Eigenwertproblemen zu erstellen. Dieser Ansatz wurde zuvor erfolgreich auf die stationäre Diffusionsgleichung mit stark schwankenden Koeffizienten angewandt. Da die Dimensionen der so erhaltenen Funktionenräume Problem abhängig sind, werden wir die Wahl der Komponenten in ihrer Konstruktion untersuchen, um so möglichst kleine Dimensionen zu gewährleisten. Dies ist für die Komplexität der gesamten Methode von großer Bedeutung. Um den numerischen Aufwand weiter zu reduzieren, planen wir Möglichkeiten zu untersuchen, die es uns erlauben, das Lösen lokaler Eigenwertprobleme zu vermeiden, indem wir die entscheidenden Eigenfunktionen mit niedriger Energie allein durch eine Analyse der Koeffizienten approximieren. Für zahlreiche Mehr-Skalen-Probleme ist eine Diskretisierung, die auch die feinste Skala auflöst, selbst bei Verwendung moderner Rechnerarchitekturen nicht möglich. Darüber hinaus ist man häufig nicht an den fein- skaligen Charakteristiken einer Lösung sondern an einer hinreichend genauen groben Approximation interessiert. Deshalb ist neben der Erstellung von effizienten und robusten Mehr-Level-Lösern die Entwicklung von numerischen Hochskalierungs-Verfahren zur Berechnung von grob-skaligen Diskretisierungen der zweite Hauptaspekt des aktuellen Forschungsvorhabens. Hierbei besteht das Ziel darin, dass die Lösungen der grob- skaligen Diskretisierungen nahe an den Lösungen entsprechender fein-skaliger Diskretisierungen liegen. Da Standardansätze wie z. B. die Homogenisierungstheorie bei Problemen mit nicht klar voneinander getrennten Skalen nur eingeschränkt anwendbar sind, beabsichtigen wir, hoch-skalierte Diskretisierungen mittels Ansatzräumen basierend auf lokalen verallgemeinerten Eigenfunktionen geringer Energie zu betrachten. Da zu erwarten ist, dass die Anwendbarkeit dieses Ansatzes bestimmte Einschränkungen bezüglich der rechten Seite des betrachteten Problems voraussetzt, werden wir auch die Gültigkeit dieser Annahmen für praktisch relevante Probleme untersuchen.