Camassa-Holm-Gleichung und indefinite Spektralprobleme

Die Geschichte solitärer Wasserwellen geht auf experimentelle Arbeiten von Russell aus dem Jahr 1844 zurück. Zur Modellierung langer Wellen in seichtem Wasser, wurde 1895 die Korteweg-de Vries-Gleichung (KdV) eingeführt. Kurz nach der Entdeckung von Solitonen durch Zabusky und Kruskal im Jahr 1965, entwickelten Gardner, Greene, Kruskal und Miura eine neue Methode zur Lösung der KdV-Gleichung indem sie auf Methoden der direkten und inversen Streutheorie aus der Quantenmechanik zurückgriffen. Anschließend erweiterte Lax diese Ideen und Zakharov und Shabat dehnten sie auf andere physikalisch relevante Gleichungen, unter anderem die nichtlineare Schrödinger-Gleichung, aus. Im Jahr 1993 haben Camassa und Holm eine neue Gleichung hergeleitet, welche sowohl Solitonenlösungen besitzt und mithilfe der inversen Streutransformation gelöst werden kann, als auch in der Lage ist das Brechen von Wellen zu beschreiben (ein Phänomen, das bei der KdV Gleichung nicht auftritt). Hierbei kann Wellenbrechung nur dann eintreten, wenn das zugeordnete Sturm-Liouville Spektralproblem indefinit ist. In diesem Zusammenhang ist direkte und inverse Streutheorie für die zugehörigen Sturm-Liouville-Operatoren von zentraler Bedeutung für die Camassa-Holm-Gleichung (CH). Leider ist diese Theorie aber für indefinite Probleme, bei denen die Gewichtsfunktion das Vorzeichen wechseln kann, nicht vorhanden. Darüber hinaus haben Beals, Sattinger und Szmigielski sogar gezeigt, dass in bestimmten Fällen das inverse Spektralproblem nicht lösbar ist, was genau dem Brechen von Wellen entspricht. Motiviert durch unsere aktuelle Studie zu Multi-Peakon Lösungen, schlagen wir ein neues, verallgemeinertes Spektralproblem für die konservative CH-Gleichung vor, welches quadratisch vom Spektralparameter abhängt. Ziel des Projekts ist es, direkte und inverse Streutheorie für dieses verallgemeinerte, indefinite Spektralproblem zu entwickeln und diese zur Untersuchung von Wellenbrechung bei der CH-Gleichung zu verwenden.

Die Camassa-Holm (CH) Gleichung ist eine nichtlineare PDG, welche in der Theorie seichter Wasserwellen auftritt. Diese Gleichung ist formal integrabel in dem Sinn, dass sie eine Lax Paar Struktur aufweist, wobei das zugehörige Spektralproblem ein sogenannter inhomogener Krein String, ein gewichtetes Sturm-Liouville Problem, ist. Im Gegensatz zur Korteweg-de Vries (KdV) Gleichung erlaubt die CH Gleichung brechende Wellen, was genau dann auftritt wenn das assoziierte Spektralproblem indefinit ist. Das Hauptziel des Projekts war es, die Eigenschaften von Lösungen der CH Gleichung anhand der inversen Streutransformation zu verstehen. Das entscheidende Hilfsmittel dabei ist direkte und inverse Spektraltheorie für das zugehörige Spektralproblem. Zusammen mit J. Eckhardt haben wir ein neues Spektralproblem eingeführt, einen sogenannten verallgemeinerten indefiniten String. Dieses Spektralproblem hängt quadratisch vom Spektralparameter ab. Im ersten Schritt entwickelten wir direkte Spektraltheorie für diese neue Klasse von Spektralproblemen. Unser nächstes Hauptresultat ist eine Lösung des inversen Spektralproblems für verallgemeinerte indefinite Strings. Dies löst ein lange Zeit offenes Problem, welches auf Krein und Langer zurückgeht und erweitert auch die berühmte Spektraltheorie von M. G. Krein für Strings auf den indefiniten Fall. Schließlich demonstrierten wir, dass dieses neue Spektralproblem eine entscheidende Rolle in der Untersuchung sogenannter konservativer Lösungen der CamassaHolm Gleichung spielt, es dient nämlich in wichtigen Fällen als isospektrales Problem für den konservativen Camassa-Holm Fluss.