Infinite Elemente für offene, elektromagnetische Systeme

Die numerische Simulation von Streu- und Resonanzproblemen in offenen Systemen ist von großer Bedeutung in vielen Anwendungen, z.B. in der Laser-Physik. Offene Systeme sind dabei so zu verstehen, dass einige der physikalischen Effekte nicht lokal sind und physikalische Größen wie das elektrische oder magnetische Feld auf unbeschränkten Gebieten gesucht werden. In diesem Projekt sollen deshalb schnelle und genaue numerische Löser für solche Probleme entwickelt und analysiert werden. Häufig werden die unbeschränkten Gebiete künstlich beschränkt. An dem so entstandenen, unphysikalischen Rand müssen transparente Randbedingungen dafür sorgen, dass keine künstlichen Reflektionen entstehen. Es existieren viele numerische Umsetzungen von transparenten Randbedingungen. In diesem Projekt sollen neue infinite Elemente untersucht werden, welche auf einer speziellen Ausstrahlungsbedingung, der sogenannten Polbedingung, beruhen. In dieser werden physikalisch sinnvolle Lösungen durch die Pole bzw. Singularitäten der Laplace transformierten Lösung charakterisiert. Numerische Tests zeigen, dass diese Methoden exponentiell konvergieren. Bisher existieren jedoch nur wenige theoretische Konvergenzresultate, und diese beschränken sich im Wesentlichen auf eindimensionale Streuprobleme. Dieses Projekt ist deshalb in zwei Teile untergliedert: Einen analytischen Teil und einen algorithmischen Teil. Im analytischen Teil soll die bisher bestehende Konvergenztheorie auf mehrdimensionale Streu- und Resonanzprobleme erweitert werden. Im algorithmischen Teil sollen iterative Löser für elektromagnetische Streu- und Resonanzprobleme entwickelt werden. Dazu werden neue Konzepte für hybride, gemischte und unstetige Galerkin Verfahren mit Gebietszerlegungs-Vorkonditionierern und den neuen infiniten Elementen kombiniert. Für beschränkte Gebiete ließen sich durch geschickte Wahl von Straftermen mit diesen Konzepten sehr effiziente Löser konstruieren, die relativ geringe Anforderungen an die Rechenleistung und vor allem an den benötigten Arbeitsspeicher stellen. Daher ermöglichen sie die numerische Simulation von sehr großen Problemen

Ziel dieses Projektes war die numerische Simulation elektromagnetischer Wellen, wie sie z.B. zur Beschreibung von Lichtausbreitung verwendet werden. Die Farbe des Lichtes entsteht dabei im wesentlichen durch die Frequenzen der Wellen, welche darin enthalten sind. Die numerische Berechnung dieser sogenannten Resonanzfrequenzen war wesentlicher Kern dieses Projektes. Sie werden benötigt, um z.B. Laser zu konstruieren, welche Licht in einer vorgegeben Farbe strahlen. Mit Hilfe von modernen Algorithmen können solche Resonanzprobleme auf leistungsstarken Computern numerisch gelöst werden. Leider sind in den Ergebnissen sehr häufig nicht nur die physikalisch sinnvollen, korrekten Resonanzen enthalten, sondern auch künstliche Resonanzen, welche einzig auf die verwendeten Algorithmen zurückzuführen sind. In diesem Projekt wurden die Gründe für das Auftreten dieser fehlerhaften, unerwünschten Ergebnisse untersucht und neue Methoden entwickelt, um Fehler zu verringern bzw. besser identifizierbar zu machen. Ein wesentliches Problem bei Resonanzproblemen besteht darin, dass Wellen nicht lokal sind. Kleine, lokal begrenzte Störungen können Auswirkungen weit entfernt von der eigentlichen Störung haben. Eine Simulation von Wellen in großen Ausbreitungsgebieten kann aber in aller Regel aufgrund des großen Bedarfs an Zeit, Speicher- und Rechenkapazitäten nicht durchgeführt werden. Daher werden spezielle Methoden benötigt, welche das Ausbreitungsgebiet und damit den Aufwand beschränken und dennoch zu akzeptablen Lösungen führen. Letzteres wurde mit mathematischen Mitteln untersucht. Es wurde damit sichergestellt, dass zumindest bei ausreichend großen Aufwand nur korrekte Ergebnisse erzielt werden. Trotz moderner Algorithmen bleiben die Berechnungen aber sehr aufwändig. Daher musste in diesem Projekt die verwendete Software verbessert werden. Zum einen wurden moderne Parallelisierungstechniken ausgenutzt und für Teilprobleme effiziente Löser anderer Arbeitsgruppen eingebunden. Zum anderen wurde die Verwendbarkeit der Software Netgen/NGSolve durch eine leicht zu bedienende Schnittstelle in der Programmiersprache Python erhöht. Dies erleichtert Anwendern die Nutzung der Software und ermöglicht eine bessere Verbreitung der entwickelten Algorithmen.