Neue numerische Methoden für die stochastische Landau-Lifshitz-Gilbert Gleichung

Das Ziel dieses Projektes ist die Entwicklung und Analyse numerischer Methoden für die stochastische Landau- Lifshitz-Gilbert-Gleichung zur Modellierung mikromagnetischer Phänomene, und kann aus mathematischer Sicht in der Schnittmenge von Numerischer Analysis und Stochastik eingeordnet werden. W. F. Brown motivierte 1963 die Verwendung einer stochastischen partiellen Differentialgleichung zur Modellierung des Magnetisierungsvektors feiner ferromagnetischer Partikel, wobei der Betrag des Vektors konstant, die Richtung allerdings thermischen Fluktuationen unterworfen ist. Wesentlich für die erfolgreiche numerische Behandlung der Gleichung ist, dass die verwendeten numerischen Methoden die qualitativen Eigenschaften der Lösung erhalten. Die wichtigsten dieser Eigenschaften sind a) dass die Länge des Magnetisierungsvektors an jedem Punkt im Raum konstant in der Zeit ist, sowie b) dass Bedingungen an die sogenannte Landauenergie des Systems erfüllt sind. Zusätzlich muss das Ineinandergreifen der geometrischen Bedingungen sowie des treibenden multiplikativen Stratonovich-Rauschterms bei der Konstruktion konvergenter und verlässlicher numerischer Algorithmen in Betracht gezogen werden. Eine fundamentale Rolle nimmt dabei das Zeit-Integrationsschema ein und für das deterministische Problem wurden eine Reihe von Ansätzen, insbesondere basierend auf geometrischer numerischer Integration, vorgeschlagen. In der Literatur der stochastischen Numerik finden sich jedoch keine systematischen Untersuchungen zur Behandlung der spezifischen geometrischen Eigenschaften und Struktur der nach der Raumdiskretisierung der stochastischen Landau-Lifshitz-Gilbert-Gleichung erhaltenen Stratonovich-Gleichung, . Weitere wichtige Aspekte zur Behandlung der stochastischen Landau-Lifshitz-Gilbert-Gleichung sowie der dazugehörigen raumdiskretisierten gewöhnlichen stochastischen Differenzialgleichung sind sowohl die Ausnutzung der "Kleinheit des Rauschens" und den damit verbundenen positiven Einflüssen auf die Effizienz des numerischen Verfahrens, als auch die Betrachtung der Stabilität der numerischen Methoden für die raumdiskretisierte gewöhnliche stochastische Differenzialgleichung. Letzterer Aspekt umfasst einerseits die Effizienz der Methoden in Bezug auf die Wahl des expliziten oder impliziten Zeitintegrators, des Lösungsverfahrens für die nichtlinearen Gleichungssysteme und der Zeitschrittlänge, sowie andererseits die Verlässlichkeit von Langzeitsimulationen, wie sie zum Beispiel zur Berechnung invarianter Verteilungen notwendig sind. Zusammenfassend liegt der Fokus dieses Projektes auf der Konstruktion der für die Lösung der stochastischen Landau-Lifshitz-Gilbert-Gleichung erforderlichen Zeitintegratoren, wobei Methoden aus der geometrischen numerischen Integration dafür die Grundlage bilden werden, sowie der Verbesserung der Verfahren in Bezug auf Verlässlichkeit der Dynamik und Effizienz sowie der Analyse der Stabilitätseigenschaften dieser Methoden.

Das Ziel dieses Projektes war die Entwicklung und Analyse numerischer Methoden für die stochastische Landau-Lifshitz-Gilbert-Gleichung zur Modellierung mikromagnetischer Phänomene und liegt aus mathematischer Sicht in der Schnittmenge von Numerischer Analysis und Stochastik. W. F. Brown motivierte 1963 die Verwendung einer stochastischen partiellen Differentialgleichung zur Modellierung des Magnetisierungsvektors feiner ferromagnetischer Partikel, wobei der Betrag des Vektors konstant, die Richtung jedoch thermischen Fluktuationen unterworfen ist. Wesentlich für die erfolgreiche numerische Behandlung der Gleichung ist, dass die verwendeten numerischen Methoden die qualitativen Eigenschaften der Losung erhalten. Die wichtigsten dieser Eigenschaften sind a) dass die Lange des Magnetisierungsvektors an jedem Punkt im Raum konstant in der Zeit ist, sowie b) dass Bedingung- en an die sogenannte Landauenergie des Systems erfüllt sind. Zusätzlich muss das Ineinandergreifen der geometrischen Bedingungen sowie des treibenden multiplikativen Stratonovich-Rauschterms bei der Konstruktion konvergenter und verlässlicher numerischer Algorithmen in Betracht gezogen wer- den. Der Fokus dieses Projektes liegt auf der Untersuchung der in diesem Kontext erforderlichen Zeitintegratoren und unsere Hauptresultate sind die Konstruktion von strukturerhaltenden Splitting- Verfahren für die Losung der stochastischen Landau-Lifshitz-Gilbert-Gleichung, sowie die Konstruktion und Analyse von stochastischen Munthe-Kaas Methoden zur schwachen Approximation dieser Gleichung. Wir haben die theoretischen Ergebnisse mit numerischen Simulationen veranschaulicht, die zeigen, dass unsere Verfahren ihre theoretischen Eigenschaften auch realisieren und im Vergleich mit bekannten Methoden sehr vorteilhaft arbeiten. Wir mochten betonen, dass die im Projekt konstruierten Verfahren auch für die numerische Approximation von allgemeineren stochastischen Differentialgleichungen relevant sind.