Optimierung von Konsum, Kapitalzuführung und Dividenden in Versicherungsmathematik

Stochastische Optimierungsmodelle mit unterschiedlichen Risikomaßen, unendlichem oder endlichem Zeithorizont spielen eine wichtige Rolle in der Versicherungsmathematik. In solchen Modellen betrachtet man Zielfunktionale, welche die Risiken eines Versichertenbestandes, erweitert durch die Möglichkeit von Dividendenzahlungen, Investitionen, Rückversicherung etc., quantifizieren. Das Hauptziel ist es, eine Strategie, die das zugrundeliegende Funktional minimiert/ maximiert, d.h. die Risiken werden minimiert oder der Nutzen wird maximiert, zu finden. Somit ist die Wahl eines Risikomaßes bei einem Optimierungsproblem von entscheidender Bedeutung. Nachdem man sich für ein Risikomaß entschieden hat, muss als Nächstes der Überschussprozesses des Versicherungsunternehmens modelliert werden. Hier hat man die Wahl zwischen einer deterministischen und einer stochastischen Modellierung. Aufgrund der Unsicherheit über die zukünftige Systementwicklung sind die meisten wirtschaftlichen Problemstellungen stochastisch. Einerseits können stochastische Modelle reale Prozesse viel besser beschreiben, als es durch deterministische möglich ist, andererseits kann eine deterministische Modellierung die notwendigen Berechnungen beträchtlich erleichtern. Jedoch ist es selbst in einem deterministischen Modell nur selten möglich, einen geschlossenen Ausdruck für das Zielfunktional oder die optimale Strategie zu finden. Das vorliegende Projekt beschäftigt sich mit drei verschiedenen Risikomaßen: dem erwarteten diskontierten Konsum, Dividenden und der Differenz von Dividenden und Kapitalzuführungen unter deterministischer und stochastischer Überschussmodellierung. Das erste Modell beschreibt die Situation, dass der Überschuss eines Wirtschaftssubjekts durch einen deterministischen Prozess beschrieben ist. Man denke hierbei z. B. an die Haushalte, die vom Tourismus leben (jeden Sommer regelmäßiges Einkommen, jeden Winter "Beschäftigungslücke"). Der Diskontierungsfaktor ist allerdings stochastisch (abhängig von der globalen makroökonomischen Situation, die nicht deterministisch sein kann). Unser Ziel ist, den erwarteten diskontierten Konsum des Wirtschaftssubjekts bei einem endlichen deterministischen Zeithorizont zu maximieren. Beim zweiten Problem modellieren wir den Überschuss des betrachteten Versicherungsunternehmens durch eine Brownsche Bewegung mit Drift. Darüberhinaus darf der Versicherer Rückversicherung kaufen und, falls der Gewinn es erlaubt, Dividenden ausschütten. Ferner, müssen die Aktionäre Kapitalzuführungen tätigen, falls der Überschuss negativ wird, was uns erlaubt das Problem unter der Annahme des unendlichen Zeithorizonts zu betrachten. Die Modellparameter, wie z.B. die Drift, die Volatilität, die Sicherheitszuschläge des Erst-und des Rückversicherers, sind nicht konstant sondern ändern sich bedingt durch einen Markov-Prozess mit einem abzählbaren Zustandsraum. Das Hauptziel ist, eine Rückversicherungsstrategie, abhängig vom Anfangskapital und Ausgangszustand des Markov-Prozesses, zu finden, die den Wert der erwarteten Differenz der diskontierten Dividenden und Kapitalzuführungen maximiert. Schließlich wollen wir uns mit der Maximierung von Dividendenzahlungen beschäftigen. Hier modellieren wir den Überschuss wieder durch eine Brownschen Bewegung mit Drift und wollen die erwarteten diskontierten Dividendenzahlungen unter einem endlichen Zeithorizont maximieren. Zu hohe Dividenden führen dazu, dass der Versicherer früher ruiniert wird. In unserem Modell wird der Versicherer zusätzlich belohnt, wenn er bis zum Ende der Betrachtungsperiode"am Leben bleibt".

Man stelle sich vor, ein Versicherungsunternehmen muss bewertet werden. Laufen die Geschäfte gut? Muss eventuell mehr Rückversicherung gekauft werden oder braucht das Unternehmen mehr Rücklagen? Wann ist es sinnvoll die Dividenden auszuzahlen?Diese und andere Fragen müssen die verantwortlichen Aktuare sich selbst und dem Unternehmensmanagement beantworten können.Um das Risiko eines Unternehmens quantifizieren zu können, braucht man Risikomaße, d.h. Großen, die etwas über das wirtschaftliche Wohlbefinden des Unternehmens aussagen können.Als solche Maße kann man z.B. die erwarteten diskontierten Dividendenzahlungen, Kapitalzuführungen oder den erwarteten diskontierten Konsum betrachten. Nachdem man sich für ein Risikomaß entschieden hat, muss als Nächstes der Überschussprozess des Versicherungsunternehmens modelliert werden. In dem Projekt FWF-P26487-N25 betrachten wir das Problem der Maximierung des er- warteten Konsums, der Dividendenzahlungen oder der Minimierung von Kapitalzuführungen bei einem Versicherungsunternehmen bzw. in einem Haushalt.Das Hauptziel ist es, eine Strategie, die das zugrundeliegende Funktional minimiert/ maximiert, d.h. die Risiken wer- den minimiert oder der Nutzen wird maximiert, zu finden. Die Logik dabei ist die folgende: Ist das Unternehmen in der Lage hohe Dividenden zu zahlen, dann ist es ein Signal, dass es dem Unternehmen gut geht. Andererseits, wenn die Aktionäre hohe Kapitalzuführungen tätigen müssen, um rote Zahlen zu vermeiden, so geht es dem Unternehmen nicht besonders. Zufälligkeit der betrachteten Prozesse spiegelt die unvorhersehbaren Konjunkturschwankungen wider. Als Beispiele für solche Veränderungen können makroökonomische Marktänderungen, aber auch mikroökonomische Inflations- oder Steuerrisiken genannt werden.Die Auswirkungen einer beliebigen Strategie sagen nicht viel über das Wohlbefinden eines Unternehmens aus, sondern vielmehr über die Geschäftstüchtigkeit des Managements. Mit den Methoden aus der optimalen Kontrolltheorie suchen wir Strategien, welche die gewählten Risikomaße maximieren bzw. minimieren. Mit anderen Worten, wir messen das Risiko unter der Annahme der optimalen Geschäftsführung, was ein wesentlich objektiveres Bild liefert.