Regularität, Stabilität und Berechnung von Gleichgewichten

Gleichgewichtskonzepte spielen eine wichtige Rolle in Wissenschaft und Technik. Gleichgewichtsbeziehungen werden primär durch Gleichungssysteme, in Beisein von Beschränkungen durch Variationsungleichungen (VU) beschrieben. VUs finden standardmäßig bei Optimalitätsbedingungen von Optimierungsproblemen verschiedenster Art, von mathematischer Programmierung bis Variationsrechnung und Optimaler Kontrolle, Verwendung. Ebenso werden Gleichgewichtsprozesse in Physik oder Ökonomie (Sweeping Process in der Kontinuumsmechanik, Walrasianische Equilibria in Produktmärkten) durch VUs modelliert. Eine wichtige und wünschenswerte Eigenschaft von Equilibria ist deren Stabilität, also dass ein Equilibrium nicht verschwindet oder sich abrupt ändert als Folge einer kleinen Änderung im Modell. So ist Stabilität nötig, um Equilibria effizient berechnen zu können. Das metrische Regularitätskonzept (wurzelt in Arbeiten von Banach, Lyusternik, Graves und anderen) hat sich in den letzten 40 Jahren als ein mächtiges Werkzeug zur Stabilitätsanalyse von Equilibria herausgebildet. In diesem Projekt wird dieses Konzept systematisch auf VUs, parametrische und Differential-VUs angewandt; diese beschreiben Equilibria von drei verschiedenen Klassen: statische, exogen beeinflusste sowie sich endogen entwickelnde Systeme. Als Beispiele für diese drei Klassen von VUs werden erweiterte Versionen eines Walrasianischen Modells für ökonomische Equilibria verwendet. Das Projekt besteht aus drei Hauptteilen: Metrische Regularität und Konditionierung, mit dem Ziel der Entwicklung analytischer und numerischer Methoden zur Abschätzung des Radius der metrischen Regularität für Klassen von VUs (sowie speziell auf die Arbeitsbeispiele angewandt). Der Radius der metrischen Regularität liefert Informationen, wie stark ein Modell gestört werden kann, bevor abrupte Veränderungen der Stabilität auftreten. Parametrische Gleichgewichte und Pfadverfolgung, mit dem Ziel der Entwicklung von Prediktor-Korrektor Fortsetzungsmethoden für parametrische VUs. Diese erlauben Approximationen höherer Ordnung trotz des eigentlich nicht glatten Charakters des Problems. Die direkte Anwendung der Fortsetzungsmethoden wird verglichen, und möglicherweise verknüpft, mit der semi-glatten (Quasi-) Newton Methode angewandt auf Reformulierungen der VUs als nicht glatte Gleichungen. Differential-Variationsungleichungen und Sweeping Process, wo die Entwicklung numerischer Approximationsmethoden höherer Ordnung das Hauptziel ist. Diese neuen Methoden werden implementiert, um optimale Kontrollprobleme zu lösen und um Nash-Gleichgewichte in Differentialspielen sowie dynamische ökonomische Gleichgewichte zu berechnen. Das eigentliche Ziel des Projekts ist es, eine weite Klasse von VUs und die Stabilität derer Gleichgewichte besser zu verstehen, sowie effiziente numerische Methoden zur Lösung großer Gleichgewichtsprobleme zu entwickeln. Als primäre Anwendung fassen wir ökonomische Gleichgewichte ins Auge, aber auch Optimale Kontrolle und Differentialspiele mit breiteren Anwendungsgebieten werden behandelt.

Der Gleichgewichtsbegriff spielt eine zentrale Rolle in Wissenschaft und Ingenieurswesen. Meist kann ein Gleichgewicht durch ein Gleichungssystem beschrieben werden, wenn aber Nebenbedingungen zu beachten sind, müssen Variationsungleichungen (VU) verwendet werden, um das Gleichgewicht zu modellieren. Optimalitätsbedingungen für Optimierungsprobleme unterschiedlichster Art von einfachen Optimierungsproblemen bis zu optimaler Steuerung und dynamischen Spielen können daher standardmäßig als VU formuliert werden. VU ergeben sich in natürlicher Weise auch in der Modellierung von Gleichgewichtsprozessen in der Physik und in der Wirtschaftswissenschaften. Im Rahmen des Projektes wurden neue Verfahren zur Berechnung von Gleichgewichten verschiedenster Art entwickelt. Es handelt sich dabei hauptsächlich um Algorithmen mit schnellem Konvergenzverhalten,diezurSteuerungvon schnellenProzessenin Ingenieursanwendungen (speziell in der Leistungselektronik) verwendet werden können. Eine wichtige Frage in diesem Zusammenhang ist, wie sich Gleichgewichte in Abhängigkeit von Parameterwerten ändern können. In der Wirtschaft können sich zum Beispiel Marktpreise abhängig von externen Schocks ändern. Gleichgewichte haben also ihre eigene Dynamik und die Berechnung (und umso mehr die Steuerung) von Gleichgewichten im Zeitablauf ist schwierig und erfordert spezielle mathematische Verfahren. Im Rahmen des Projektes wurden mehrere neue theoretische und numerische Verfahren zur Analyse von VU entwickelt. Ein Fokus lag dabei auf der Datenabhängigkeit von Lösungen und auf VU zur optimalen Steuerung.