Erfüllbarkeit in Gödel Logiken

In der logischen Forschung zeigt sich eine bemerkenswerte Asymmetrie in Anzahl und Umfang der Untersuchungen bezüglich der Gültigkeit und Untersuchungen bezüglich der Erfüllbarkeit von nichtklassischen Logiken. Seit den grundlegenden Arbeiten Alfred Tarskis werden Logiken üblicherweise mit der Menge ihrer gültigen Sätze identifiziert. Daher konzentriert sich die gesamte Forschung auf Eigenschaften der Menge der gültigen Sätze. Im Gegensatz dazu wird wie gesagt der Erfüllbarkeit nicht viel Aufmerksamkeit geschenkt. Insbesonders ist für viele wichtige Logiken sogar nicht viel über die rekursive Aufzählbarkeit, i.e. Axiomatisierbarkeit der Menge ihrer nicht- erfüllbaren Formeln bekannt. Das stellt in der klassischen Logik natürlich kein Problem dar, da Nichterfüllbarkeit dual zu Gültigkeit ist: Die Gültigkeit einer Formel wird mittels der Unerfüllbarkeit ihrer Negatiuon festgestellt. Dies ist jedoch in vielen wichtigen nichtklassischen Logiken keineswegs der Fall, wo die Negation einer ungültigen Formel trotzdem erfüllbar sein kann. Hauptziel des vorliegenden Projektes ist es, diese Asymmetrie für Gödel Logiken erster Ordnung zu beheben. Es soll das Gültigkeits- und Erfüllbarkeitsproblem ähnlich wie in der klassischen Logik dual behandelt werden. (Gödel Logiken sind eine der wichtigsten Klassen von Logiken zwischen intuitionistischer und klassischer Logik.)

Erfüllbarkeit in Gödel Logiken Deutscher Abstrakt In der Logikforschung gibt es eine oensichtliche Asymmetrie zwischen dem Studium der Gültigkeit und dem Studium der Erfüllbarkeit. Seit Tarskis bahnbrechender Arbeit wer- den Logiken normalerweise mit der Menge ihrer gültigen Sätze identiziert. Daher steht das Studium der Eigenschaften der Menge von Tautologien einer Logik im Mittelpunkt der Aufmerksamkeit. Dem Problem der Erfüllbarkeit wird jedoch nur wenig Aufmerksamkeit geschenkt. Insbesondere ist nicht viel über die für das automatische Beweisen relevante rekur- sive Aufzählbarkeit der Menge der nicht erfüllbaren Sätze vieler wichtiger Logiken bekannt. Dies ist kein Problem in der klassischen Logik, wo Unerfüllbarkeit dual zur Gültigkeit ist. Tatsächlich ist das Testen der Gültigkeit einer Formel gleichbedeutend mit dem Testen der Unerfüllbarkeit ihrer Negation . Dies ist jedoch bei vielen wichtigen nicht-klassischen Logiken, einschlielich der Gödel-Logiken, nicht der Fall, wo die Negation einer Formel uner- füllbar sein kann, während die Formel immer noch nicht gültig ist. Das Hauptresultat dieses Projekts besteht darin, diese Asymmetrie für Gödel-Logiken erster Ordnung aufzulösen und eine einheitliche Behandlung der Gültigkeit und des Erfüll- barkeitsproblems in möglichst enger Analogie zur klassischen Logik zu ermöglichen. 2