Mehrskalen FEM für das Wirbelstromproblem in ferromagnetischen geschichteten Medien

Die Simulation von Wirbelströmen in geschichteten Eisenkernen mit der Methode der finiten Elemente (FEM) ist im Entwurf von elektrischen Maschinen und Transformatoren von großem Interesse. Der Eisenkern wird aus ferromagnetischen kornorientierten Blechen hergestellt. Die Materialeigenschaften sind anisotrop und weisen eine magnetische Hysterese auf. Die Größenordnungen sind sehr verschieden, sie variieren von den Gesamtabmessungen eines Eisenkerns von bis zu einigen Metern bis zur Dicke von einzelnen Blechen in einem Bereich von 0,2-0,3mm. Das Modellieren jedes einzelnen Blechs ist verständlicherweise keine geeignete Lösung. Viele finite Elemente (FEe) müssen in einem solchen Modell verwendet werden, was zu extrem großen nichtlinearen Gleichungssystemen führt. Daher ist die genaue Simulation der Wirbelströme und der Eisenverluste in geschichteten ferromagnetischen Kernen mit angemessener Rechnerleistung keinesfalls zufriedenstellend gelöst. Sie stellt eine der großen Herausforderungen in der Berechnung elektromagnetischer Felder dar. Geschichtete Eisenkerne bilden eine periodische Mikrostruktur und sind daher prädestiniert für die FEM mit Homogenisierung. Simulationen mit FEM und Homogenisierung zeigen eine Grenzschicht, ganz ähnlich wie jene in den entsprechend stark vereinfachten Modellen von solchen Kernen mit anisotropen Materialeigenschaften. Eine genaue Approximation der Grenzschicht ist wesentlich für die exakte Bestimmung der Eisenverluste, jedoch sind viele FE-Schichten dafür erforderlich, welche die gesamte Anzahl der FEe im Model beträchtlich erhöhen. Die periodische Natur der Bleche wird durch step lap joints und Lüftungsschlitze unterbrochen oder durch Schrägung gestört, was zu komplizierten Geometrien führt, welche für sich genommen schon aufwendig in der FE-Modellierung sind. Eine genaue Approximation mit der FEM mit Standardpolynomen im Fall von Gleichungen mit stark oszillierenden Koeffizienten, z.B. bei Materialien mit einer Mikrostruktur, und von Problemen mit einer Grenzschicht, benötigt ein sehr feines FE-Gitter. Wir werden daher neue Mehrskalen-Finite-Elemente-Methoden (MSFEM) entwickeln, um die Mikrostruktur effizient aufzulösen. Dabei wird die Standardpolynombasis mit speziellen Funktionen vergrößert, welche a priori Information im Ansatzraum berücksichtigt um feine FE Gitter zu vermeiden. Die MSFEM wird mit dem multiharmonischen Ansatz kombiniert, um den Rechenaufwand zu verringern. Ansätze werden für die Grenzschicht und die geometrischen Probleme entworfen und in die MSFEM integriert. Die Hysterese wird durch ein Preisach- Modell berücksichtigt werden. Schnelle numerische Integrationsmethoden werden für eine effiziente MSFEM entwickelt, welche die Genauigkeit der Approximation nicht beeinflussen. Alle MSFEM Ansätze werden in den open source hp-FEM code Netgen/NGSolve integriert. Ein Benchmark mit Messdaten und der Supercomputer VSC, um sehr große Referenzlösungen berechnen zu können, werden eine optimale Entwicklung der neuen MSFEM-Ansätze sicherstellen. Das Ziel ist es, sehr genaue numerische Lösungen zu erstellen, welche minimale Computerkapazitäten erfordern und problemlos auf einem Personal Computer laufen.

Eine genaue Simulation von großen elektrischen Maschinen und Transformatoren im Entwurf ist eine sehr große Herausforderung, da deren Eisenkerne aus sehr vielen sehr dünnen Blechen zusammengesetzt werden. Zur Simulation bedient man sich der Finite-Elemente- Methode (FEM). Die klassische FEM würde aufgrund der vielen dünnen Bleche einerseits und der relativ sehr großen äußeren Abmessungen solcher Geräte in der Simulation auf riesige Geichungssysteme führen, die man womöglich bestenfalls mit einem Super-Computer lösen könnte. Das Ziel des Projektes war es, die klassische FEM radikal zu verbessern. Der Eisenkern stellt aufgrund der vielen Bleche praktisch eine feine periodische Struktur dar. Die entwickelten Mehrskalen FEMen nutzen diese Tatsache geschickt aus, sodass die riesigen Gleichungssysteme drastisch verkleinert werden und zum Teil sogar mit einem Personal Computer gelöst werden können. Ein optimaler Entwurf großer elektrischer Maschinen und Transformatoren bedeutet weniger elektrische Verluste in Form von Wärme und geringeren Materialeinsatz in deren Produktion und somit eine umweltverträglichere Erzeugung, Transport und Umwandlung elektrischer Energie.