Neue Anwendungsgebiete für BGG-Sequenzen

Das Projekt ist im Bereich der höherdimensionalen Differentialgeometrie angesiedelt. Dabei spielen Differentialoperatoren und Differentialgleichungen, die in natürlicher Weise aus den betrachteten geometrischen Strukturen entstehen, eine zentrale Rolle, was einen Bezug zur Analysis liefert. Andererseits sind die verwendeten Methoden stark algebraisch orientiert, vor allem kommt die Darstellungstheorie halbeinfacher Lie Gruppen und Lie Algebren zur Anwendung. Damit gibt es Wechselwirkungen mit mehreren zentralen Teilgebieten der Mathematik. Die Themen des Projekts stehen auch in engem Zusammenhang mit Teilgebieten der theoretischen Physik, insbesondere mit der allgemeinen Relativitätstheorie und der AdS/CFT-Korrespondenz. Die Motivation für die ursprüngliche Konstruktion von Bernstein-Gelfand-Gelfand-Sequenzen (oder kurz BGG-Sequenzen) stammt aus dem Gebiet der konformen Differentialgeometrie und aus dem engen Zusammenhang zwischen der konformen Geometrie einer Sphäre und der Darstellungstheorie einer bestimmten halbeinfachen Lie Gruppe. Betrachtet man die analoge Situation für andere halbeinfache Lie Gruppen, dann erhält man eine große Zahl von (in elementarer Beschreibung sehr verschiedenartigen) geometrischen Strukturen die in dieser Form als parabolische Geometrien einheitlich beschrieben werden können. Diese Geometrien wurden in den letzten Jahren international intensiv und sehr erfolgreich studiert. Die Konstruktion von Invarianten der Struktur und von Differentialoperatoren, die so einer Geometrie natürlich zugeordnet sind (invariante Differentialoperatoren), ist ein schwieriges und für manche der Geometrien klassisches Problem, in dem es über längere Zeit trotz intensiver Bemühungen nur geringe Fortschritte gab. Motiviert durch analoge Resultate der Darstellungstheorie wurde im Jahr 2001 eine allgemeine Konstruktion für Sequenzen von invarianten Differentialoperatoren entwickelt, die als BGG- Sequenzen bezeichnet wurden. Das stellte einen Durchbruch in der Theorie der invarianten Differentialoperatoren dar, seither sind BGG-Sequenzen ein wichtiges Hilfsmittel im Studium parabolischer Geometrien. Im Rahmen des Projekts sollen die Ideen, die zur Konstruktion von BGG-Sequenzen verwendet wurden, in anderen Situationen verwendet werden, wobei vier konkrete Forschungsrichtungen geplant sind. Unter diesen findet sich eine relative Version der Sequenzen, eine Konstruktion von ähnlichen Sequenzen auf Symmetrie-Reduktionen von parabolischen Geometrien, das Studium der Beziehungen zwischen der BGG-Konstruktion und Poisson-Transformationen sowie Anwendungen von BGG-Sequenzen auf geometrische Kompaktifizierungen mit Bezügen zur Holonomietheorie von Cartan-Konnexionen. Dabei ist auch zu erwarten, dass die ursprüngliche Konstruktion von BGG- Sequenzen deutlich verbessert und geklärt werden kann. Eine interessante Besonderheit an den genannten Forschungsrichtungen ist, dass neben Resultaten für den Bereich der parabolischen Geometrien auch Auswirkungen auf andere Teilgebiete zu erwarten sind. So haben etwa die Fragen über geometrische Kompaktifizierungen enge Bezüge zu Fragen über Einstein- und Kähler-Einstein-Metriken, die in der Riemann-Geometrie intensiv studiert werden, sowie zur Streutheorie, zur allgemeinen Relativitätstheorie und zur AdS/CFT-Korrespondenz. Die anderen Richtungen haben Bezüge zu symplektischer Geometrie und zu Fragen der unendlich- dimensionalen Darstellungstheorie und zu nicht-kommutativer Geometrie.

Im Rahmen des Projekts, das in einem aktiven Teilgebiet der reinen Mathematik angesiedelt war, wurde die Theorie der Bernstein-Gelfand-Gelfand Sequenzen (kurz BGG Sequenzen) in mehrere Richtungen signifikant erweitert und verallgemeinert. Es handelt sich dabei um Differentialoperatoren, die einer Klasse von geometrischen Strukturen, den sogenannten parabolischen Geometrien in natürlicher Weise zugeordnet sind. Der Schwerpunkt des Projekts lag auf Richtungen, die Anwendungen auf Bereiche außerhalb der parabolischen Geometrien erlauben, etwa in der Riemann-Geometrie und der allgemeinen Relativitätstheorie, der Streutheorie, oder der geometrischen Theorie von Differentialgleichungen. Im Projektantrag ware vier konkrete Forschungsrichtungen für das Projekt angeführt. In allen vier Richtungen wurden bedeutende Fortschritte erzielt und in erstklassigen internationalen Journalen publiziert. Besonders bemerkenswert ist einerseits die Entwicklung einer relativen Version von BGG Sequenzen. Dafür wurde nicht nur im Bereich der Geometrie und der invarianten Differentialoperatoren, sondern auch auf dem klassichen Gebiet der halbeinfachen Lie Algebren wissenschaftliches Neuland erschlossen. Der neu gefundene Zugang zu den relativen BGG Sequenzen kann auch für die ursprünglichen Sequenzen angewandt werden was eine wesentlich einfachere und klarere Präsentation erlaubt. Diese verbesserte Darstellung wird zur weiteren Verbreitung und Popularisierung der Theorie beitragen können, die für einen nachhaltigen Erfolg sehr bedeutend ist. Den zweiten Höhepunkt des Projekts stellen die Resultate über geometrische Kompaktifizierungen dar. Hier liefern die parabolischen Geometrien einen konzeptuellen Zugang zu verschiedenen Klassen von Kompaktifizierungen mit potentiellen Anwendungen in mehreren Teilgebieten der Mathematik und der theoretischen Physik.