Algebra und Algorithmen für Integro-Differentialgleichungen

Integro-Differentialgleichungen und Randwertprobleme sind in Naturwissenschaften, Technik und angewandter Mathematik allgegenwärtig. Während algebraische Strukturen und Computeralgebra für Differentialgleichungen sehr etabliert sind, wird erst seit kurzem an integro-differentiellen Entsprechungen gearbeitet. Gemeinsam mit unseren Koautoren haben wir symbolische Methoden für lineare gewöhnliche Randwertprobleme und deren Green`sche Operatoren entwickelt. Der Zugang basiert auf Integro- Differentialoperatoren über Integro-Differentialalgebren, die es erlauben, in einer algebraischen Struktur sowohl mit Randwertproblemen (Differentialoperator und Randbedingungen) als auch mit den entsprechenden Green`sche Operatoren (Integraloperatoren) zu rechnen. Ziel des beantragten Projektes ist es, algorithmische und algebraische Methoden für Systeme von linearen Integro-Differentialgleichungen mit Randbedingungen zu entwickeln, dies in Ergänzung zu numerischen Methoden. Wir werden berechenbare Integro-Differentialalgebren, deren Elemente in einem Computer repräsentierbar sind, und algebraische Eigenschaften der dazugehörigen Integro-Differentialoperatoren untersuchen. Es sollen insbesondere symbolische Methoden zur Berechnung von rationalen und berechenbaren Klassen von Lösungen und der entsprechenden Kompatibilitätsbedingungen für inhomogene Gleichungen entwickelt werden. Die Berechnung linearer Abhängigkeiten (Syzygien) von Integro-Differentialoperatoren ist eine zentrale Aufgabe für einen algorithmischen Zugang zu linearen Systemen. Bavula hat vor kurzem gezeigt, dass, falls man mit endlich vielen gewöhnlichen Integro-Differentialgleichungen mit polynomialen Koeffizienten und Anfangsbedingungen startet, die entsprechendenKompatibilitätsbedingungen undAbhängigkeiten im Prinzip endlich beschrieben werden können. Ausgehend von unserem Zugang zur Berechnung von Annihilatoren und polynomialen Lösungen, wollen wir konstruktive Methoden für Syzygien und Systemen von gewöhnlichen Integro-Differentialgleichungen mit Randbedingungen entwickeln. Allgemeiner werden wir kohärente Operatoralgebren auf dem univariaten Polynomring untersuchen. Es ist eine grundlegende Idee der algebraischen Systemtheorie, jedem linearen System, das durch eine Matrix von Operatoren definiert ist, einen Modul zuzuorden, der die wesentlichen Eigenschaften des Lösungsraums widerspiegelt. Wir wollen in dem beantragten Projekt (konstruktive) Methoden der algebraischen Systemtheorie für Systeme von gewöhnlichen Integro-Differentialgleichungen untersuchen. Lineare Systeme mit Randbedingungen aus der mathematischen System- und Kontrolltheorie sind eine wichtige Klasse solcher Systeme. Wir werden auch unsere Methoden für lineare gewöhnliche und partielle Randwertprobleme und (verallgemeinerter) Green`scher Operatoren und die dazugehörige Software weiterentwickeln. Ein wichtiger Aspekt des Projekts ist auch die Implementation der zu entwickelnden konstruktiven Methoden in Computeralgebrasystemen.

Algebra und Algorithmen für Integro-Differentialgleichungen Integro-Differentialgleichungen und Randwertprobleme sind in Naturwissenschaften, Technik und angewandter Mathematik allgegenwärtig. Während algebraische Strukturen und Computeralgebra für Differentialgleichungen sehr etabliert sind, wird erst seit kurzem an integro-differentiellen Entsprechungen gearbeitet. Die Hauptziele des Projekts waren algorithmische und algebraische die Entwicklung von Methoden für Integro-Differentialalgebren und Systeme von linearen Integro-Differentialgleichungen. Ein wichtiger Aspekt des Projekts war auch die Implementation der entwickelten Algorithmen in Computeralgebrasystemen. Wir haben unsere neuen Methoden und Software auf Probleme in der Kontrolltheorie, Matrixtheorie, Quantenphysik und chemischen Reaktionsnetzwerken angewendet. Viele Prozesse in Wissenschaft und Technik können durch lineare Systeme von Differential-, Verzögerungs- und Integralgleichungen modelliert werden. Zur Analyse solcher Systeme wird üblicherweise mit den entsprechenden Matrizen und linearen Operatoren gerechnet. Anstatt mit tatsächlichen Matrizen und Operatoren zu arbeiten, werden im Symbolischen Rechnen mathematische Objekte durch Symbole repräsentiert. Um symbolische Berechnungen mit Operatoren auf einem Computer zu implementieren, benötigt man eine eindeutige Form sie darzustellen. Im Projekt haben wir eine neue Methode entwickelt, um beispielsweise Normalformen von Differential-, Verzögerungs- und Integraloperatoren mit Matrixkoeffizienten zu finden und zu beweisen. Wir haben solche Normalformen verwendet, um Berechnungen für lineare retardierte Differentialgleichungen in der Steuerungstheorie zu automatisieren und zu verallgemeinern. Wenn die Eingabe und Ausgabe von Operatoren oder Matrizen unterschiedliche Dimensionen haben, können sie nicht beliebig addiert und verknüpft werden. Dies schränkt gültige Berechnungen mit Operatoren und Matrizen ein. Im Projekt haben wir ein neues algebraisches Framework für diese Situation entwickelt. Das Prinzip besteht darin, zunächst symbolisch ohne Einschränkungen zu rechnen und dann das Ergebnis zu rechtfertigen und zwar unabhängig davon wie dieses erhalten wurde. Mit unseren Kollaborationspartnern haben wir diesen Ansatz und unsere Software angewendet, um computergestützte Beweise für neue Ergebnisse in der Theorie der verallgemeinerten Inversen zu generieren. Langfristiges Ziel ist es, ein umfassendes Framework und Softwareunterstützung für automatisierte Beweise von Eigenschaften linearer Operatoren in verschiedenen Forschungsbereichen bereitzustellen. In Zusammenarbeit mit theoretischen Physikern verwendeten wir Normalformen verschachtelter Integrale bei der Analyse bestimmter Prozesse in der Quantenelektrodynamik und der Quantenchromodynamik. Diese Berechnungen sind entscheidend für die genaue Auswertung der an Partikelkollidern gesammelten Messdaten. Die Software zur Durchführung der Berechnung basiert auf theoretischen Ergebnissen zur algebraischen Struktur bestimmter Integro-Differentialringe. Im Rahmen des Projekts haben wir auch unsere Forschung zu dynamischen Systemen fortgesetzt, die sich aus chemischen Reaktionsnetzwerken ergeben und positiven Lösungen der entsprechenden Polynomgleichungen. Die neuen Methoden basierend auf Vorzeichenvektoren und Ergebnisse zu positiven Gleichgewichtspunkten eröffneten vielversprechende Forschungsagenden für grundlegende Fragen der reellen algebraischen Geometrie sowie für Bioinformatik und Bioengineering.