Langzeitverhalten für Hamilton PDGs

Das Projekt ist eine Fortsetzung meines Lise-Meitner-Projekts M1329-N13. Das Hauptziel ist das Langzeitverhalten von nichtlinearen Hamilton`schen partiellen Differentialgleichungen zu untersuchen. Wir wollen den dispersiven Abfall in gewichteten Normen von Lösungen der diskreten Schrödinger-, Wellen-, und Diracgleichung mit kompakt getragenen Potentialen beweisen. Dazu werden wir das Grenzwert-Absorptions-Prinzip und verallgemeinerte Puiseux-Entwicklungen für die zugehörigen Resolventen nahe dem Schwellenwert verwenden. Ähnliche Resultate für die Schrödinger-, Klein-Gordon- Gleichung mit magnetischen Potentialen und die ein- bzw. zwei-dimensionale Diracgleichung wurden von uns kürzlich gezeigt. Weiters planen wir den dispersiven Abfall zu verwenden um die statistische Stabilisierung von diskreten Schrödinger-, Wellen- und Diracgleichungen zu zeigen. Dazu untersuchen wir die Gleichungen mit zufälligen translationinvarianten Anfangsdaten, die Mischungsbedingungen vom Rosenblatt oder Ibragimov-Linnik Typ erfüllen. Wir wollen zeigen, dass die Verteilung gegen eine Gaußverteilung konvergiert. Dies stellt eine Verallgemeinerung des Zentralen Grenzwertsatz für diskrete partielle Differentialgleichungen dar. Ein weiteres Ziel ist das Langzeitverhalten von Lösungen der eindimensionalen Klein-Gordon- und Diracgleichungen, die an einen nichtlinearen Oszillator gekoppelt sind, und der dreidimensionalen Klein- Gordon -Gleichung mit konzentrierten Nichtlinearitäten. Zunächst wollen wir die asymptotische Stabilität von Solitonenlösungen zeigen. Dazu werden wir zeigen, dass die Solitonenmanigfaltigkeit S alle Lösungen mit endlicher Energie in ihrer Nähe anzieht. Die Konvergenz gilt in den gewichteten Normen. Ausserdem planen wir Streuasymptotiken zu zeigen, in dem Sinn, dass die Lösungen in der Nähe von S asymptotisch durch eine Summe von solitären Wellen und einen dispersiven Anteil, der die freie Gleichung löst, gegeben sind. Der Rest konvergiert gegen Null in einer globalen Norm. Der Beweis wird auf dem dispersiven Zerfall der zugehörigen linearisierten Gleichungen beruhen. Schliesslich planen wir Konvergenz zu S für alle Lösungen mit endlicher Energie ohne die Einschränkung, dass die Anfangsdaten nahe bei S sind, zu zeigen, und zwar für die dreidimensionale Klein-Gordon-Gleichung mit konzentrierten Nichtlinearitäten. In diesem Fall ist S ein globaler Attraktor. Diese globale Anziehung kommt durch einen nichtlinearen Energietransfer von unteren harmonischen Schwingungen zum stetigen Spektrum und darauf folgender dispersiver Abstrahlung zu Stande. Wir planen auch analoge Resultate für die Diracgleichung und für diskrete Versionen der Gleichungen zu beweisen. Die Resultate und Methoden des vorliegenden Projekts sind wichtig in der Spektral- und Streutheorie sowie in der Quanten- und statistischen Physik. Der dispersive Zerfall kann auf diverse nichtlineare Stabilitätsprobleme angewandt werden. Die asymptotische Stabilität von solitären Wellen sollte dabei helfen die Stabilität von Elementarteilchen im Sinne des Heisenberg`schen Programms zu klären. Statistische Stabilisierung sollte dazu beitragen die Rolle des Gibbs`schen Gleichgewichtsmasses in der statistischen Physik zu erklären.

Wir haben neue Ergebnisse zum Langzeitverhalten von Lösungen der linearer und nichtlinearer Hamilton-Gleichungen erhalten: dispersiven Zerfall, asymptotische Stabilität von solitären Wellen, Streuasymptotiken für Wellengleichungen, Attraktion zu den solitären Wellen usw. Wir haben dispersiven Zerfall in gewichteten Normen für die Klein-Gordon-Gleichungen mit skalaren und magnetischen Potentialen, und für diskrete Wellen-, Schrödinger- und Dirac-Gleichungen gezeigt. Diese Resultate werden bei der Weiterentwicklung der Stabilitätstheorie für nichtlineare Hamilton-PDEs nützlich sein. Es wurde die globale Attraktion zu solitären Wellen für Wellen-, Klein-Gordon- und Dirac-Gleichungen mit konzentrierten Nichtlinearitäten, und für Wellengleichungen, die mit nichtrelativistischen Teilchen gekoppelt sind, gezeigt. Diese Resultate ergeben neue mathematische Modelle des Bohr-Übergangs auf stationäre Quantenzustände. Wir haben die asymptotische Stabilität stationärer Zustände und Streuasymptotiken für Wellengleichungen, die an ein nichtrelativistisches Teilchen gekoppelt sind, bewiesen. Einer der Hauptbestandteile des Beweises war unser Resultat über den dispersiven Zerfall für die entsprechende linearisierte Dynamik. Diese Ergebnisse wurden durch das Problem der Stabilität von Elementarteilchen inspiriert. Für die Schrödinger-Poisson-Newton-Gleichungen, die unendliche Kristalle mit einem kubischen Gitter und einem Ion pro Zelle beschreiben, haben wir die asymptotische Stabilität der linearisierten Dynamik bewiesen. Dies ist das erste Ergebnis zur linearen Stabilität von Kristallen. Für nichtlineare Schrödinger-Poisson-Newton-Gleichungen für endliche Kristalle mit sich bewegenden Ionen unter periodischen Randbedingungen und unter neuartigen Bedingungen vom Jellium- und Wiener-Typ an die Ionenladungsdichte haben wir eine globale Dynamik konstruiert und die Orbitalstabilität von Grundzuständen mit periodischer Anordnung von Ionen nachgewiesen. Für Lösungen den lineare Hamilton-Gleichungen mit nichtnegativer Energie in Hilbert-Räumen haben wir eine Spektraldarstellung erhalten. Die Darstellung ist unverzichtbar für den Nachweis der asymptotischen Stabilität einzelner Wellen nichtlinearer Hamilton-Gleichungen. Als Hauptanwendung dieser Ergebnisse rechtfertigen wir die Eigenfunktionserweiterung für linearisierte nichtlineare relativistische Ginzburg-Landau-Gleichungen. Wir haben Wohlgestelltheit, einen globalen Attraktor und das Bogolyubov-Mittelungsprinzip für eine 2D-gedämpfte nichtlineare Schrödinger-Gleichung mit fastperiodischem Pumpen in einem begrenzten Bereich bewiesen. Die Ergebnisse und Methoden des Projekts könnten für die Anwendung in der Quantenphysik sowie Festkörperphysik nützlich sein. Der dispersive Zerfall kann für die Lösung verschiedener Stabilitätsprobleme Angewendung finden. Die asymptotische Stabilität solitärer Wellen könnte die Stabilität von Elementarteilchen verdeutlichen.