Äquivariante Vervollständigung: topologische Quantenfeldtheorie und darüber hinaus

Topologische Quantenfeldtheorie hat in den vergangenen 25 Jahren zu wesentlichen Erkenntnissen in Algebra, Darstellungstheorie, Topologie und Geometrie beigetragen. Eine jüngere Entwicklung, die durch den Beweis der Kobordismus-Hypothese noch verstärkt wurde, ist die zunehmende Bedeutung von Verfeinerungen verschiedener Art von TQFT. Dabei stellt sich die Sprache von höherer Kategorientheorie als die natürliche und angemessene heraus; insbesondere werden zweidimensionale Defekt-TQFTs durch Bikategorien mit Adjunktionen beschrieben. Inspiriert durch Orbifoldkonstruktionen in Quantenfeldtheorie und durch die grundlegende Arbeit von Fuchs- Runkel-Schweigert über rationale konforme Feldtheorie wurde von Runkel und mir 2012 die Theorie äquivarianter Vervollständigung entwickelt. Ausgehend von einer Bikategorie mit Adjunktionen wird dabei mit Hilfe von Frobenius-Monoiden und deren Bimoduln eine größere Bikategorie konstruiert, die verschiedene gute Eigenschaften besitzt. Der entscheidende Teil unserer bisherigen Arbeit ist jedoch die Entwicklung eleganter Methoden, die in diesem sehr allgemeinen Rahmen zu diversen interessanten Äquivalenzen führen, und zwar für jeden 1-Morphismus mit invertierbarer Quantendimension. Eine Klasse solcher Anwendungen von äquivarianter Vervollständigung sind ADE-Orbifolds: es gelang uns, neue Beziehungen zwischen den Matrixfaktorisierungskategorien einfacher Singularitäten zu beweisen, die bei vielen Experten auf erstauntes Interesse gestoßen sind (und direkt zu analogen neuen Äquivalenzen zwischen Singularitätenkategorien und abgeleiteten Kategorien von Dynkin-Köchern führen). Von den bisherigen Resultaten ausgehend ist die Hauptaufgabe des hier vorgestellten Projektes zweierlei: einerseits die Stärke von äquivarianter Vervollständigung in weiteren wichtigen Anwendungen zum Tragen zu bringen, und andererseits die allgemeine Theorie fortzuentwickeln. In dieser Hinsicht tritt äquivariante Vervollständigung sowohl als Ziel als auch als Methode auf, neue Ergebnisse in verschiedenen Gebieten reiner Mathematik und mathematischer Physik zu erhalten. Allein schon das Potential der konkreten ADE-Orbifolds ist dabei erstaunlich groß. So werden wir sie beispielsweise nutzen, um die von Khovanov-Rozansky eingeführten homologischen Verschlingungsinvarianten vom A- und D-Typ in Beziehung zu setzen (und möglicherweise sogar völlig neue E-Typ-Invarianten zu konstruieren); desweiteren ist zu erwarten, dass ADE-Orbifolds auch auf dem Level von Calabi-Yau- Vervollständigungen Geltung haben, entsprechend werden wir die induzierten Äquivalenzen von abgeleiteten Kategorien von Ginzburg-Algebren studieren; schließlich werden ADE-Orbifolds eine wichtige Rolle dabei spielen, von quadratischen Differentialen auf Riemann-Flächen erhaltene Stabilitätsbedingungen im Kontext der 2d/4d- Korrespondenz in Beziehung zu setzen. Neben diesen und vielen weiteren im vorliegenden Antrag beschriebenen Anwendungen werden wir uns in einem zweiten Teil des Projektes der Weiterentwicklung der abstrakten Theorie äquivarianter Vervollständigung widmen was wiederum zu einem verbesserten Anwendungspotential führen wird. Zwei besonders nennenswerte Forschungsrichtungen sind hierbei einerseits die Umformulierung der Theorie über eine universelle Eigenschaft (die weitere allgemeine Strukturen und wichtige Kohärenzresultate nach sich führen wird), und andererseits die Ausarbeitung einer dreidimensionalen Variante äquivarianter Vervollständigung als Operation auf Trikategorien. Ihrem Ursprung in physikalischer Intution in Quantenfeldtheorie nach muss eine solche Erweiterung existieren.

Das Projekt fand im Grenzgebiet von theoretischer Physik und Mathematik statt. Entsprechend hatte es zwei Hauptziele: (1) Fundamentale Eigenschaften von Quantenphysik besser zu verstehen, indem möglichst große Klassen von vereinfachten Modellen -- sogenannte topologische Quantenfeldtheorien -- rigoros beschrieben werden; (2) niedrig-dimensionale geometrische Objekte (die auch als vereinfachte Raumzeitmodelle herhalten) systematisch und konzeptionell in rein algebraischer Sprache zu unterscheiden. Ein konretes Hauptergebnis ist die Ausarbeitung und Anwendung einer Theorie von "verallgemeinerten Orbifolds", die neue topologische Quantenfeldtheorien aus algebraischen Daten konstruiert und damit eine Möglichkeit gibt, den Raum aller topologischer Quantenfeldtheorie mit einer neuen Methode zu erkunden. Unter den Begriff von verallgemeinerten Orbifolds lassen sich unter anderem Zustandssummenmodelle und das Eichen von Symmetrien als Spezialfälle subsummieren, die Konstruktion bietet damit auch konzeptionelle Vereinheitlichung. Angewendet wurde die Theorie insbesondere auf eine Klasse von dreidimensionalen Modellen (vom Reshetikhin-Turaev-Typ), die unter anderem enge Verbindungen zu der Theorie von 3-Mannigfaltigkeiten hat und theoretische Modelle für topologische Quantencomputer bietet.