Frame basierende konstruktive Realisierungen in Zeit-Frequenz-Analyse

Das allgemeine Ziel des Projektes ist es den Bereich der numerischen Zeit-Frequenz Analyse um neue fast optimale konstruktive Approximationsmethoden, die im Computer implementiert werden können, zu erweitern. Im Projekt wird ein gemeinsames Diskretisierungsverfahren entwickelt werden, dass die Konvergenz von sequentieller und paralleler Algorithmen für Spline-artig, Gabor und Wavelet Frames garantiert. Um die Approximationen zu kontrollieren, analysieren wir die Atome im Rahmen der Funktionsräume wie die Wiener-Amalgam-Räume und, besonders, die Segal Algebra S_0(G). Die neuen optimalen numerischen Verfahren werden benutzt, um experimentelle Daten, die oft durch Geräusch gestört und verfälscht sind, dennoch zuverlässig zu analysieren. Konkrete Anwendungen der neu entwickelten konstruktiven Methoden finden sich in Prüfverfahren von Waren und auch der Analyse medizinischer Bilder und Daten.

In diesem Projekt wurden mathematische Methoden untersucht, um die Darstellung und Analyse von Funktionen, Signalen und Bildern in spline-type Räumen zu verbessern. Diese Räume sind eine Verallgemeinerung von shift-invariant Räumen. Neben der mathematischen Analyse, haben wir die neuen Techniken aus der Perspektive ihrer Realisierung am Computer entwickelt. Unser erstes Ziel war es ein einheitliches Rahmenwerk für konstruktiv realisierbare Algorithmen zu schaffen, die auf spline-type Räumen für Gabor- und Wavelet- Frames basieren. Die Prozedur zur Generierung von Wavelet-ähnlichen Systemen mit Mehrfachauflösung in Rahmen von spline-type Räumen berücksichtigt nur die Generatoren, die das Spektrum des zu approximierenden Signals überschneiden. Durch die Umformulierung von Gabor-Systemen als modulierte Spline-Systemen wird eine Geschwindigkeitssteigerung bei der Berechnung solcher Systeme erreicht. Außerdem haben wir neue rechnerische Aspekte berücksichtigt, um die Approximation von Hilbert-Schmidt- Operatoren anhand generalisierter Gabor-Multiplikatoren zu verbessern. Ein Aspekt besteht darin, die Annäherung des Symbols eines Hilbert-Schmidt-Operators als L2-Projektion in den spline-type Raum eines Gabor-Multiplikators zu betrachten. Das zweite Ziel des Projekts war auf die Stabilität dieser neuen Algorithmen ausgerichtet. Bei der Untersuchung der Neuformulierung von Gabor-Systemen durch Spline-Räume mit mehreren Fenstern haben wir den Zusammenhang zwischen den Verformungen eines Spline-Systems durch Modulationen und dem Näherungsfehler betrachtet. Daraufhin wurde das Konzept der Stabilität für shift-invariant Räume, die als Beschränktheit des Syntheseoperators von unterhalb interpretiert wurden, für allgemeine spline-type Räume untersucht. Inspiriert von Wavelets in lokalen Körpern und mit Hilfe minimaler Theorie von lokal kompakten Abelschen Gruppen, haben wir auch die Stabilität der Multilevelanalyse untersucht. Unser letzter Ansatz zur Stabilität wurde im Rahmen der numerischen Lösungen partieller Differentialgleichungen motiviert. Ursprünglich um das Wachstum des Rundungsfehlers zu quantifizieren, wurde er in der Lax-Richtmyer-Theorie als intrinsische Eigenschaft des Diskretisierungsschemas formuliert, unabhängig vom jeweiligen Anfangswert des Problems. Das letzte Ziel des Projekts war die Anwendung der neuen Algorithmen in technischen und medizinischen Problemen. Wir haben unsere Techniken für die Erkennung des Unterkieferkanals in Panorama-Röntgenaufnahmen mit einem Gabor- Hough-Algorithmus, für die Gabor-Filterung von medizinischen 3D-Bildern und für die Erkennung von Proteinkodierungsregionen mithilfe von Multi-Scale-Splines-Konstruktionen erfolgreich angewendet. Außerdem, haben wir einen Deep Learning Algorithmus zur Untersuchung des strukturellen Zustands von Auslegerbalken, basierend auf zeitlich ausgedehnten Signaturen vorgeschlagen. Neben diesen erwarteten Ergebnissen, wurden einige weitere Ergebnisse für die nD-Bildanalyse unter Verwendung topologischer Invarianten erhalten.