Stochastische verallgemeinerte Fourierintegraloperatoren

Ziel des Projekts ist es, eine neuartige Methode der Analyse von Wellenausbreitung unter zufällig räumlich verteilten Störungen zu entwickeln. Dabei soll eine stochastische Theorie von linearen hyperbolischen partiellen Differentialgleichungen oder Pseudodifferentialgleichungen begründet werden, basierend auf der modernen Theorie der Fourierintegraloperatoren. Das Projekt hat weitreichende Folgerungen im Gebiet der partiellen Differentialgleichungen, der verallgemeinerten Funktionen und der stochastischen Analysis. Die Motivation ergibt sich aus Aufgaben der Systemidentifikation in der Kontinuumsmechanik und der Wellenausbreitung in der Seismologie. Beim Problem des Zusammenwirkens von irregulären stochastischen Störungen, der durch Differentialgleichungen beschriebenen Wellenausbreitung sowie der Beschreibung der stochastischen (messbaren) Eigenschaften der Lösungen wird das Projekt den genannten Gebieten unterstützende Ergebnisse liefern. Mit Hilfe der Projektresultate wird es erstmals möglich sein, den Grad der Irregularität der Störungen (und der Lösungen) auf eine Höhe zu heben, die mit den existierenden mathematischen Theorien nicht erreichbar war, aber von den Modellen in den parktischen Anwendungen gefordert wird. Zum Beispiel legen Messungen nahe, dass Materialeigenschaften in der Kontinuumsmechanik sowie Dichteschwankungen der Erdkruste (in mittlerer Längenskala) durch stetige, aber nicht-differenzierbare Zufallsfelder modelliert werden sollten, welche wegen ihrer mangelnden Regularität der klassischen Theorie hyperbolischer Differentialgleichungen nicht zugänglich sind. Zur Lösung dieser Probleme setzt das Projekt an, die Gleichungen einerseits im Rahmen von Algebren verallgemeinerter Funktionen anzusiedeln, andererseits den stochastischen Ansatzpunkt von der Modellierung der Koeffizienten der Gleichungen zu den Phasenfunktionen und Integrationskernen der Fourierintegraloperatoren zu verlagern, welche die Lösungen beschreiben. Der Zugang wird ermöglicht durch in der letzten Zeit erzielte Fortschritte im Gebiet der Fourierintegraloperatoren in Algebren verallgemeinerter Funktionen, gepaart mit neuen Resultaten aus stochastischen partiellen Differentialgleichungen im selben Rahmen. Das Projekt wird eine neuartige Methode zur Beschreibung der stochastischen Eigenschaften der Lösungen liefern, so dass diese mit Messergebnissen vergleichbar werden. Letztendlich wird das Projekt die Grundlage für einen neuen Zugang zur Parameterschätzung und Systemidentifikation in den genannten Anwendungsgebieten ergeben. Darüber hinaus wird das Projekt neue Methoden im Gebiet der verallgemeinerten Funktionen beisteuern, insbesondere das neue Konzept von stochastischen verallgemeinerten Fourierintegraloperatoren.

Ziel des Projekts war die Entwicklung eines völlig neuen Zugangs zur Modellierung von Wellenausbreitung in stochastisch variablen Medien. Eine Schallwelle, die sich in einem Medium mit räumlich variierenden Eigenschaften ausbreitet, wie die Erdkruste oder Composite-Materialien, trifft auf Störzonen stochastische Natur. Traditionell wird die Wellenausbreitung durch ein System partieller Differentialgleichungen beschrieben. Die zufälligen Schwankungen fließen in den Koeffizienten der Gleichungen ein. Das direkte Problem besteht darin, bei Kenntnis der Koeffizienten die Lösung zu ermitteln. Das inverse Problem besteht darin, die Koeffizienten der Gleichungen und damit Eigenschaften des Materials oder Mediums aus Kenntnis der Lösung zu bestimmen. Allgemein können die Lösungen von Wellengleichungen durch so genannte Fourierintegraloperatoren dargestellt werden. Die Geometrie der Wellenausbreitung und die frequenzabhängigen Amplituden sind in der Struktur der Terme dieser Operatoren kodiert. Sind etwa die Materialeigenschaften konstant, so breitet sich eine punktförmige Anregung längs eines Lichtkegels aus. Die neue Idee des Projekts war es, die zufälligen Materialstreuungen nicht durch die Koeffizienten der Gleichungen zu modellieren, sondern durch stochastische Schwankungen der Terme der Fourierintegraloperatoren. Dieser Zugang ersetzt die mit hohem Rechenaufwand verbundene Aufgabe, die stochastischen partiellen Differentialgleichungen zu lösen, durch die wesentlich einfachere und sparsamere Aufgabe, die stochastischen Fourierintegraloperatoren auszuwerten. Die zentralen Fragestellungen des Projekts waren: (1) probabilistische Eigenschaften der neu eingeführten stochastischen Operatoren, vornehmlich basierend auf der stetigen Abhängigkeit der Lösungen von den einzelnen Termen der Operatoren; (2) die Notwendigkeit, die Gleichungen im Rahmen verallgemeinerter Funktionen zu lösen, was durch die hohe Irregularität der zufälligen Schwankungen erzwungen wurde; (3) die Wahl geeigneter Typen von Zufallsfeldern zur Beschreibung der zufälligen räumlichen Abweichungen; (4) die Validierung der Konzepte in einer Reihe explizit lösbarer Fälle; (5) Erkennen und Beschreiben, wie die Parameter der stochastischen Modelle mit empirisch messbaren Lösungen zusammenhängen, um in die Lage zu kommen, das inverse Problem zu lösen. Ein derartiges explizit lösbares Modell, das vollständig mit den neu eingeführten Methoden beschrieben werden konnte, war die Transportgleichung im so genannten Goupillaud-Medium, ein zufällig geschichtetes Medium mit gegen Null gehenden Schichtdicken. Der Hauptteil der Arbeit konzentrierte sich jedoch auf die Modellierung akustischer Wellenausbreitung in linear-elastischen Materialien mit stochastischen Eigenschaften. Die von den stochastischen Fourierintegraloperatoren stammenden Lösungen konnten mit Hilfe von computergestützten Monte-Carlo-Simulationen der wahren Systemantwort des Materials auf die Anregung durch eine akustische welle kalibriert werden. Diese Vorgangsweise sollte letztlich zur Möglichkeit führen, Änderungen der Materialparameter durch Beobachtung von Änderungen der Parameter der Fourierintegraloperatoren zu detektieren. Dieser Ansatz legt die Grundlage für zukünftige Anwendungen in den Materialwissenschaften (Erkennen von Schädigungen).