Polynome und Polynomfunktionen auf endlichen Ringen

Wir untersuchen Polynome und Polynomfunktionen ueber endlichen Ringen, wie z.B. den ganzen Zahlen modulo einer Primzahlpotenz. An den Polynomfunktionen interessiert uns besonders die Struktur der Gruppe der Polynompermutationen eines endlichen Rings und die Struktur projektiver Limiten solcher Gruppen, die wir wir darauf untersuchen, ob sich Kranzprodukte zyklischer Gruppen, und daher beliebige endliche p-Gruppen, einbetten lassen. An den Polynomen selbst erforschen wir nicht-eindeutige Faktorisierung in Polynomringen. Nach bisherigen Untersuchungen zeigen die Laengenmengen ein anderes Verhalten als in besser untersuchten Ringen mit nicht-eindeutiger Faktorisierung wie etwa Ordnungen in Zahlkoerpern oder Ringen ganzwertiger Polynome, und es sind die traditionellen Methoden der Theorie nicht-eindeutiger Faktorisierung (Transferhomomorphismen, Konduktoren) nicht anwendbar, also geht es darum, auch methodisch Neues zu erfinden.

Wir haben in der Theorie kommutativer Ringe mathematische Grundlagenforschung betrieben, auf die andere Teilgebiete der Mathematik aufbauen koennen: wir haben topologische Methoden in der Ringtheorie weiterentwickelt, Nullideale von Matrizen charakterisiert, nicht-eindeutige Faktorisierung in kommutativen Ringen erforscht, sowie auch Gruppen von Permutationspolynomen auf endlichen Ringen. Vier exzellente junge Forscher haben dank des Projekts einige Jahre ueberlebt und jeweils einen wichtigen Schritt (Doktorat oder Anstellung an einer Universitaet) in ihrer wissenschaftichen Karriere geschafft.