Lösung hochdimensionaler Lyapunov-Differentialgleichungen

Hochdimensionale Lyapunov-Differentialgleichungen (DLEs) treten in vielen wissenschaftlichen Bereichen auf, beispielsweise bei Modellreduktion, Dämpfungsoptimierung, optimaler Steuerung und numerischer Lösung stochastischer Differentialgleichungen (SPDEs). Im Speziellen stellen DLEs den zentralen Bestandteil in der Simulation von durch SPDEs dominierten Systemen dar. So wird zum Beispiel das Wettersystem El Niño Südliche Oszillation (kurz auch El Niño) durch diese Art von Gleichung modelliert. Nach der Diskretisierung einer DLE muss man in jedem Schritt eine (algebraische) Lyapunov-Gleichung (LE) mit spezieller Struktur lösen. Wird die Struktur der entstehenden Matrixkoeffizienten nicht ausgenützt, ist es aufgrund des Speicher- sowie Rechenbedarfs nicht möglich, hochdimensionale DLEs zu lösen. Obwohl in den letzten Jahren verschiedenste Methoden zur Lösung hochdimensionaler LEs vorgeschlagen wurden, findet sich in der Literatur kein Ansatz, der den Differentialgleichungsfall behandelt. Dieses Projekt befasst sich mit der Entwicklung von Integratoren zum Lösen hochdimensionaler DLEs. Dabei liegt für uns der Fokus auf drei Ansätzen: Niedrigrang-Approximation, exponentielle Integratoren sowie Splitting- Verfahren. Wir untersuchen für jeden Ansatz Fehlerschätzer sowie Strategien zur Ordnungs- und Schrittweitensteuerung. Basierend auf einer Niedrigrang-Zerlegung der Lösung entwickeln wir einen Integrator, der direkt auf den Faktoren der Lösung arbeitet. Zusätzlich werden wir den allgemeineren Ansatz einer sogenannten dynamischen Niedrigrang-Approximation verfolgen. Darüber hinaus untersuchen wir den Einsatz von exponentiellen Integratoren zum Lösen von DLEs. Aufgrund der hohen Dimension des Gleichungssystems legen wir besonderen Wert darauf, Speicher- und Rechenleistung zu optimieren. Im Hinblick auf exponentielle Integratoren bedeutet das, die Berechnung von Matrixfunktionen zu beschleunigen. Bei den betrachteten Splitting-Verfahren lassen sich ähnliche Überlegungen und Ansätze wie bei exponentiellen Integratoren verwenden. Auf diese Weise entwickeln wir eine Methode, die Strukturen im System ausnützt. Durch die Untersuchung von Splitting-Verfahren höherer Ordnung sind wir auch in der Lage, die Genauigkeit des Integrators zu erhöhen. Schließlich entwickeln wir eine gemischte CPU-GPU Implementierung auf dem neuesten Stand der Technik. Diese Implementierung nützt die Mehrprozessorarchitektur einer GPU aus, um höhere Effizienz zu erreichen. Als Anwendungsbeispiel dienen uns dabei die realen Daten des Wettersystems El Niño. Die Resultate dieses Projektes erlauben es, die Simulation von El Niño genauer zu gestalten und helfen dadurch, dieses Wettersystem besser zu verstehen. Zusätzlich werden die erstellten Integratoren für DLEs dazu verwendet, spezifische Probleme der Modellreduktion von zeitabhängigen Systemen, die Dämpfungsoptimierung in mechanischen Systemen sowie durch stochastische Anregung beeinflusste Scherströmungen zu behandeln.

Hochdimensionale Lyapunov-Differentialgleichungen (DLEs) treten in vielen wissenschaftlichen Bereichen auf, beispielsweise bei Modellreduktion, Dämpfungsoptimierung, optimaler Steuerung und numerischer Lösung stochastischer Differentialgleichungen (SPDEs). Im Speziellen stellen DLEs den zentralen Bestandteil in der Simulation von durch SPDEs dominierten Systemen dar. So wird zum Beispiel das Wettersystem El Niño - Südliche Oszillation (kurz auch El Niño) durch diese Art von Gleichung modelliert. Nach der Diskretisierung einer DLE muss man in jedem Schritt eine (algebraische) Lyapunov-Gleichung (LE) mit spezieller Struktur lösen. Wird die Struktur der entstehenden Matrixkoeffizienten nicht ausgenützt, ist es aufgrund des Speicher- sowie Rechenbedarfs nicht möglich, hochdimensionale DLEs zu lösen. Obwohl in den letzten Jahren verschiedenste Methoden zur Lösung hochdimensionaler LEs vorgeschlagen wurden, findet sich in der Literatur kein Ansatz, der den Differentialgleichungsfall behandelt. Dieses Projekt befasst sich mit der Entwicklung von Integratoren zum Lösen hochdimensionaler DLEs. Dabei habe geliegt für uns der Fokus auf drei Ansätzen: Niedrigrang-Approximation, exponentielle Integratoren sowie Splitting-Verfahren. Basierend auf einer Niedrigrang-Zerlegung der Lösung entwickeln wir haben einen Integrator, der direkt auf den Faktoren der Lösung gearbeitet. Zusätzlich wir haben den allgemeineren Ansatz einer sogenannten dynamischen Niedrigrang-Approximation geverfolgen. Darüber hinaus untersuchen wir den Einsatz von exponentiellen Integratoren zum Lösen von DLEs. Aufgrund der hohen Dimension des Gleichungssystems legen wir besonderen Wert darauf, Speicher- und Rechenleistung zu optimieren. Im Hinblick auf exponentielle Integratoren bedeutet das, die Berechnung von Matrixfunktionen zu beschleunigen. Bei den betrachteten Splitting-Verfahren lassen sich ähnliche Überlegungen und Ansätze wie bei exponentiellen Integratoren verwenden. Auf diese Weise entwickeln wir eine Methode, die Strukturen im System ausnützt. Schließlich entwickeln wir eine gemischte CPU-GPU Implementierung auf dem neuesten Stand der Technik. Diese Implementierung nützt die Mehrprozessorarchitektur einer GPU aus, um höhere Effizienz zu erreichen. Als Anwendungsbeispiel dienen uns dabei die realen Daten des Wettersystems El Niño. Die Resultate dieses Projektes erlauben es, die Simulation von El Niño genauer zu gestalten und helfen dadurch, dieses Wettersystem besser zu verstehen.