Hartree-Fock Dynamik für Kristalle

In dem vorgeschlagenen Projekt wollen wir dynamische Hartree-Fock-Gleichungen für Kristalle in einer neuen Wellenmatrix-Darstellung einzuführen. Die Wellenmatrix wird dabei als die Quadratwurzel der Dichtematrix definiert. Als vorbereitenden Schritt planen wir, die Wohlgestelltheit des Cauchy-Problems für die gekoppelten dynamischen Hartree-Fock-Poisson-Newton-Gleichungen in der Wellenmatrix-Darstellung für eine endliche Anzahl von Teilchen zu beweisen. Ferner konstruieren wir den Raum-periodische Grundzustandder Wellenmatrix des gekoppelten Systems für ein festes Gitter in der Wellenlmatrix-Darstellung welcher die Energie pro Zelle über die Wellenmatrix und die Position der Kerne minimiert. Weiter betrachten wir die nichtlineare Dynamik für Störungen des Grundzustands und planen die Existenz und Eindeutigkeit von globalen Lösungen zu beweisen. Unser Ziel ist eine detaillierte Studie der entsprechenden linearisierten Gleichungen im Grundzustand, der Nachweis der Langzeit-Konvergenz zum Gleichgewicht für die Verteilung der linearisierten Dynamik und kurzreichweitigen Störungen unter der Mischungsbedingung von Rosenblatt oder Ibragimov-Linnik an einen zufälligen Anfangszustand. Die Konvergenz zur Gleichgewichsverteilung der linearisierten Dynamik werden wir aus dem dispersiven Zerfall von Anfangszuständen mit endlicher Energie ableiten, unter Verwendung der Bernstein-Methode für Reihen und der Ibragimov-Linnik-Theorie schwach abhängiger zufälliger Werte. Die Erweiterung auf kurzreichweitige Störungen wird unter Verwendung der asymptotischen Vollständigkeit der Wellenoperatoren und des dispersiven Zerfalls von Lösungen mit endlicher Energie erfolgen. Der Beweis der asymptotischen Vollständigkeit wird durch die Weiterentwicklung von Methoden von Gerard und Nier im Rahmen der periodischen Schrödinger Gleichungen geführt werden. Die größten Schwierigkeiten beim Beweis des dispersiven Zerfalls sind i) die Diagonalisierung der Bloch-Generatoren, ii) das Fehlen von konstanten Dispersionsrelationen. Die Diagonalisierung wird durch unsere neue Theorie der spektralen Zerlegung von unbeschränkten positiv definiten Hamiltonoperatoren gezeigt werden. Die Positivität der Bloch-Generatoren und das Fehlen der konstanten Dispersionsrelation werden durch neuartige asymptotische Entwicklungen des Grundzustands und die Dispersionsrelation für kleine Werte der Elektronenladung gezeigt werden. Vor kurzem haben wir einige dieser Ergebnisse für die gekoppelten Schrödinger-Poisson-Newton Gleichungen erhalten. Die Untersuchung wird durch mathematische Probleme der Festkörperphysik motiviert: Fehlen einer Quantentheorie des Ohm`schen Gesetz, des Fourier`schen Gesetz usw. Unser Ansatz könnte bei verschiedenen quantendynamischen Problemen der Festkörperphysik nützlich sein, insbesondere für die Untersuchung von Wärmeleitung, der elektrische Leitfähigkeit, des photoelektrischen Effekt, der thermoelektronischem Emission, des Hall-Effekt, der kohärente Laser-Strahlung, etc.

Ich habe 2015-2020 eine Stabilitätstheorie für endliche und unendliche Kristalle entwickelt, die i) neue allgemeine Bedingungen für die Ionenladungsdichte für das Vorhandensein von Grundzuständen und ii) die allgemeinen universellen Jellium- und Wiener-Bedingungen für Ionenladungsdichten liefert, die eine orbitale und lineare Stabilität bieten Grundzustände und dispersiver Zerfall. Für die Beweise werden neue Methoden der Funktionsanalyse verwendet: i) die Theorie der spektralen Expansion für nicht selbstadjunkte Hamilton-Operatoren, ii) neue Schätzungen für fermionische Wellenfunktionen und andere. Alle Ergebnisse sind in einer zur Veröffentlichung vorbereiteten Monographie zusammengefasst.