Deformierbarkeit und Symmetriebruch

Hauptziel des Projektes ist ein besseres Verständnis von "Symmetriebruch" in der Geometrie. Zur Beschreibung geometrischer Objekte verwendete Eigenschaften oder Gleichungen besitzen Symmetrien, wie etwa die Bestimmung eines Dreiecks durch drei Winkel, die das Dreieck bis auf Ähnlichkeit festlegen, oder durch drei Kantenlängen, die es bis auf Euklidische Bewegung festlegen: Diese Beschreibungen haben unterschiedliche Symmetriegruppen. Diverse Sätze der Geometrie beschreiben, wie eine einem geometrischen Objekt verbundene "Erhaltungsgrösse" die Symmetriegruppe der definierenden Eigenschaften reduziert: Die ursprüngliche Symmetrie wird gebrochen. Der Satz von Vessiot liefert ein klassisches Beispiel aus der Differentialgeometrie: Ist die einhüllende Fläche einer 1-Parameterfamilie von Kugeln unter Erhalt ihrer durch die Winkelmessung bestimmten Eigenschaften deformierbar, so ist sie Teil eines Kegels, eines Zylinders oder einer Rotationsfläche. Die die Fläche definierenden Eigenschaften hängen nur von einer Winkelmessung ab, während die Begriffe "Kegel", "Zylinder" und "Rotationsfläche" eine Längenmessung erfordern. Wir erhalten also Symmetriebruch. Weitere Sätze dieser Art sind aus dem Bereich der Kugelgeometrien von Lie, Laguerre und Möbius bekannt, insbesondere im Kontext deformierbarer bzw "nicht-starrer" Flächen in diesen Geometrien. Diese deformierbaren Flächen sind auch in anderer Hinsicht von Interesse: zum Beispiel erlauben sie eine Behandlung im Rahmen der aus der Physik bekannten Theorie Integrabler Systeme, und können daher unter Erhalt wesentlicher Eigenschaften "transformiert" werden. Insbesondere besitzen bestimmte Klassen dieser deformierbaren Flächen "Weierstrass-Darstellungen" oder andere explizite Darstellungen, die sie für experimentelle Untersuchungen geeignet machen: um Eigenschaften zu erkennen oder Behauptungen zu erhärten, bevor ein Beweis gegeben wird. Wir werden die Wechselwirkungen zwischen Deformierbarkeit und Symmetriebrechung untersuchen, insbesondere, ob mehrfache Deformierbarkeit wie im Satz von Vessiot zwingend zu Symmetriebruch führt. Dabei ist unser Hauptanliegen nicht nur, das Auftreten von Symmetriebruch zu erfassen, sondern vor allem, die Ursachen für die Symmetriebrechung zu ermitteln, zum Beispiel durch die Untersuchung der oben erwähnten "Erhaltungsgrössen".Wiederum werden experimentelle Methoden helfen, Material und Beispiele für die Untersuchungen bereitzustellen. Wir erwarten, dass wir auf diese Weise nicht nur "geometrische Symmetriebrechung" als einen neuen Forschungsgegenstand in der Differentialgeometrie etablieren werden der gut mit dem entsprechenden Gebiet der theoretischen Physik resoniert sondern auch neue Perspektiven und ein strukturelles Versändnis für bisher vereinzelte Ergebnisse und Sätze der Geometrie erhalten werden, und so die "geometrische Symmetriebrechung" als ein neues Werkzeug in der Geometrie nutzbar machen.

Ziel des Projekts war, ein tieferes Verstandnis fur ein in diversen Situationen beobachtbares Phanomen in der Geometrie zu entwickeln: Wir bezeichnen dieses Phanomen als "Symmetriebruch", in Analogie zu einem ahnlichen Phanomen in der Physik. Zum Beispiel: Die den Fall eines Tropfens Flussigkeit auf eine horizontale Oberflache derselben Flussigkeit beschreibenden Gleichungen haben eine Rotationssymmetrie (mit dem Fallweg des Tropfens als Achse); jede Losung der Gleichungen (Weg eines Tropfens) zeigt zunachst die selbe Symmetrie, wahrend des Falls und der Formation eines rotationssymmetrischen Spritzers, der dann jedoch ein (ziemlich symmetrisches) Kronchen formt - die (hohe) Rotationssymmetrie "bricht" also zu einer (geringeren) Symmetrie von endlichen Rotationen um einen gewissen festen Winkel. Da es keinen offensichtlichen Grund fur diese Reduktion der (stetigen Rotations) Symmetrie gibt, wird sie auch als "spontane Symmetriebrechung" bezeichnet. Ein ahnlicher Mechanismus wurde in F Klein's visionarem "Erlanger Programm" von 1893 beschrieben, in dem ein Symmetrie(-gruppen) basierter Zugang zur Geometrie begrundet wurde. Seither wurden diverse Instanzen von "Symmetriebruch" in der Geometrie beobachtet - und genutzt - aber die Hintergrunde fur dieses Phanomen sind bislang unklar. Als Versuchsgebiet, zum Studium des Phanomens, benutzen wir eine Geometrie mit sehr hoher Symmetrie, in der Punkte, Spharen und Ebenen nicht unterscheidbar sind (Liesche Kugelgeometrie): zum Beispiel sind in dieser Geometrie die Parallelflachen einer gegebenen Flache nicht von dieser zu unterscheiden; bestimmte Eigenschaften, wie Beruhrung von Flachen, bleiben in dieser Geometrie jedoch erhalten. Die "deformierbaren" Flachen dieser Geometrie liefern eine reiche Quelle fur Probenmaterial und eine grosse Vielfalt von Methoden und Resultaten steht fur (manche) diese(r) Flachen zur Verfugung, e.g., fur Seifenhaute/-blasen oder abwickelbare Flachen in verschiedenen Raumen. Insbesondere haben wir uns auch fur potentielle Zusammenhange zwischen Symmetriebruch und mehrfacher Deformierbarkeit interessiert. Ein Hauptaugenmerk des Projekts lag auf der Entwicklung oder Anpassung der reichhaltigen Methodologien der verschiedenen Zweige unseres Versuchsgebiets, inklusive einer geeignet angepassten Beschreibung diverser Klassen "deformierbarer Flachen" mithilfe von "Erhaltungsgrossen" (die Symmetriebruch erzeugen) sowie verschiedener Methoden zur Erzeugung von Flachen (Losungen). Dabei haben wir weitere Resultate zu "spontaner Symmetriebrechung" gesammelt, unter anderem zur oben formulierten Frage zum Zusammenhang mit (mehrfacher) Deformierbarkeit. Dies hat eine erste allgemeine Beschreibung des Phanomens "Symmetriebruch" in der Geometrie ermoglicht, die auch einen Vergleich mit entsprechenden physikalischen Phanomenen beinhaltet.