Extra-Dimensionen in Eichtheorie und Matrix-Modellen

Eines der fundamentalen Probleme der theoretischen Physik besteht in der Entwicklung einer konsistenten Quantentheorie aller fundamentalen Wechselwirkungen inklusive Gravitation. Ein plausibler Ansatz beruht auf der Annahme, dass die beobachtbare Physik bei experimentell zugänglichen Skalen aus einer sehr einfachen zugrundeliegenden Theorie entsteht. Fortschritte in den vergangenen Jahren führten zu der Einsicht, dass sogar die Geometrie selbst aus einfacheren zugrundeliegenden Modellen mit wenig oder gar keiner Geometrie entstehen kann. Dies passiert z.B. in gewissen Yang-Mills Eichtheorien, sowie in Matrix-Modellen im Zusammenhang mit Stringtheorie. Dieser Mechanismus basiert auf einer geometrischen Variante des bekannten Higgs-Mechanismus. Dabei können gewisse Matrizen, die als Lösungen in solchen Modellen auftreten, im Rahmen von Quantengeometrie interpretiert werden. Solche Quantengeometrien können entweder die Rolle der physikalischen Raumzeit spielen, oder als winzige extra Dimensionen die Raumzeit ergänzen. Gegenstand dieses Projektes sind neuartige Realisierungen von solchen fuzzy extra Dimensionen im Rahmen von sehr prominenten Modellen, nämlich der maximal supersymmetrischen Yang-Mills Theorie, sowie dem damit verwandten IKKT Matrix-Modell. Im Rahmen des Projektes werden insbesondere neuartige Lösungen untersucht, welche solche fuzzy extra Dimensionen in der super-Yang-Mills Theorie sowie dem Matrix-Modell beschreiben. Diese Lösungen sind durch eine bemerkenswerte selbstüberschneidende Geometrie characterisiert, welche die für eine interessante Niederenergie-Physik essentiellen Strukturen bereitstellen. Dies führt insbesondere zu chiralen Eigenschaften der resultierenden Fermionen, welche in der Teilchenphysik essentiell sind. In dem Projekt sollen die Eigenschaften des resultierenden (verallgemeinertern) Higgs- Sektors und die entsprechenden modifizierten Vakua untersucht werden. In einem weiteren Schritt wird die resultierende Niederenergie-Eichtheorie bestimmt, und deren physikalische Bedeutung und Tragweite zur Beschreibung der Elementarteilchen untersucht. Dazu werden die relevanten Niederenergie-Moden auf den nicht-trivialen Vakua bestimmt, und die assoziierte Symmetrie- Brechung der Eichtheorie ausgearbeitet. Quantenkorrekturen werden zur führenden Ordnung einbezogen. Ein weiteres Ziel ist es, verallgemeinerte Lösungen mit analogen Eigenschaften zu finden, sowie die Lösungen im Matrix-Modell auf Raumzeiten mit nichtverschwindender Krümung zu adaptieren.

Ein fundamentales Problem der theoretischen Physik besteht in der Entwicklung einer konsistenten Quantentheorie aller fundamentalen Wechselwirkung, insbesondere der Gravitation. Dies erfordert eine Quanten-Struktur von Raumzeit und Geometrie. In diesem Projekt wurden solche Quantengeometrien studiert, die als Lösungen in bekannten Modellen der Yang-Mills Eichtheorie sowie in Matrix-Modellen auftreten. Der erste Teil des Projektes beschäftigt sich mit einer Klasse von bemerkenswerten selbstüberschneidenden Geometrien, welche extra Dimensionen unserer Raumzeit beschreiben und zu einer Niederenergie-Physik ähnlich dem Standardmodell führen können. Es wurde gezeigt, dass diese Geometrien nicht nur zu chiralen Fermionen führen, sondern - wie erhofft - auch zu einem Higgs-Kondensat. Dies ist als Ursprung der Masse von Fermionen von grundlegender Bedeutung. Konkret wurde eine allgemeine Klasse von exakten Lösungen gefunden bestehend aus 6-dimensionalen selbstüberschneidenden Geometrien mit Higgs-Kondensat, welches die Blätter der Geometrie verbindet, und dadurch den Fermionen Masse gibt. Dies führt zu einer Struktur ähnlich dem Standardmodell der Elementarteilchen. In einem zweiten Teil des Projektes wurde eine neue Klasse von 4-dimensionalen kovarianten Quantengeometrien gefunden, welche unsere Raumzeit beschreiben könnte. Diese sind invariant unter den Symmetrien der Raumzeit, haben aber dennoch eine gitter- artige Struktur mit einer minimalen Längenskala, wie in einer Quantentheorie der Gravitation zu erwarten ist. Es wurde gezeigt, dass diese Quantenräume tatsächlich Lösungen von Matrix-Modellen sind, und zu Eichtheorien führen, welche alle Freiheitsgrade der Gravitation enthalten, insbesondere Spin 2 Gravitonen. Die notwendigen mathematischen Werkzeuge wurden entwickelt, insbesondere für die 4-dimensionale Sphäre und Hyperboloid. Aus letzterem entsteht durch Projektion eine kosmologische Quanten-Raumzeit, welche unserer Raumzeit sehr nahe kommt. Die daraus entstehende Eichtheorie ist eine vielversprechende Basis für eine Quantentheorie der Gravitation. Insbesondere können ähnliche Strukturen als extra Dimensionen auftreten, wie sie im ersten Projektteil untersucht wurden.