Singularitätentheoreme und Comparison Geometry

Die Singularitätentheoreme der allgemeinen Relativitätstheorie, die in ihrer ursprünglichen Form erstmals von R. Penrose und S. W. Hawking bewiesen wurden, bilden wichtige Meilensteine der Theorie und haben im Lauf der letzten 50 Jahre den Anstoß zu vielen grundlegenden Forschungsarbeiten, sowohl in der Relativitätstheorie, als auch in der Differentialgeometrie gegeben. Diese Resultate besagen, dass unter gewissen physikalisch plausiblen Annahmen eine Raumzeit (also ein mathematisches Modell des Universums) Singularitäten entwickeln muss, in dem Sinn dass sie notwendiger Weise unvollständige kausale Kurven enthalten muss, also entweder Lichtstrahlen oder materielle Teilchen, die nicht für alle Zeiten existieren. Beispiele für solche Raumzeit-Singularitäten sind einerseits, auf lokaler Ebene, sogenannte schwarze Löcher (Raumzeit-Regionen, aus denen selbst Lichtstrahlen nicht entweichen können), sowie auf kosmologischer Ebene Anfangs- bzw. Endsingularitäten (Big Bang bzw. Big Crunch). Eine inhaltliche Schwäche der meisten Singularitätentheoreme besteht darin, dass sie keine allgemeinen Aussagen über die Natur der vorhergesagten Singularitäten treffen (beispielsweise ob diese durch Regionen unbeschränkter Krümmung der Raumzeit verursacht werden). Im Prinzip wäre es denkbar, dass diese Resultate einfach einen Abfall der Regularität des mathematischen Modells (der Raumzeit-Metrik) implizieren, der vom physikalischen Standpunkt aus nicht als singulär zu betrachten wäre. Aus diesem Grund besteht seit langem ein großes Interesse daran, die minimale Regularität der Raumzeit zu bestimmen, unter der die Folgerungen der Singularitätentheoreme ihre Gültigkeit behalten. Im Lauf der letzten Jahre wurden bedeutende Fortschritte im Verständnis der Kausalitätstheorie in niedriger Regularität erzielt, die es Mitgliedern unserer Froschungsgruppe erlaubt haben, zu beweisen, dass sowohl das Penrose-Theorem wie auch das Hawking-Theorem ihre Gültigkeit in dieser allgemeineren Situation behalten. Ein natürlicher nächster Schritt besteht nun darin, auch das bisher allgemeinste Singularitätentheorem, das von Hawking und Penrose gemeinsam bewiesen wurde, in ähnlicher Weise zu verallgemeinern. Dies ist das erste Hauptziel des Projektes. Das zweite Hauptziel ist die Entwicklung neuer geometrischer Methoden zur Behandlung der oben beschriebenen Probleme. Insbesondere werden wir die sogenannte Comparison Geometry für semi- Riemann Metriken niedriger Regularität verwenden und weiterentwickeln. Dabei handelt es sich um eine mathematische Theorie, die es gestattet, allgemeine Geometrien mit relativ einfachen (stark symmetrischen) Modellräumen zu vergleichen, insbesondere in Hinblick auf ihre Krümmung, sowie bezüglich der Fläche bzw. des Volumens von Raumzeit-Regionen. Auf diese Weise hoffen wir, neue qualitative und quantitative Einsichten in die Natur der Singularitätentheoreme zu gewinnen und eine neue mathematische Sprache zur Behandlung dieses wichtigen Problems im Schnittbereich von allgemeiner Relativitätstheorie und Differentialgeometrie zu entwickeln. Das Kernteam des Projektes wird aus J. D.E. Grant, M. Kunzinger, R. Steinbauer, und J.A. Vickers bestehen, alles erfahrene Wissenschaftler, die in den letzten Jahre substantielle Beiträge zu diesem Gebiet geleistet haben.

Die Singularitätentheoreme von Roger Penrose (Nobelpreis 2020) und Stephen Hawking gehören zu den Meilensteinen der Physis des 20. Jahrhunderts. In ihrer allgemeinsten Form wurden sie von diesen beiden Wissenschaftlern 1970 bewiesen. Das resultierende Theorem sagt die Existenz von Singularitäten in unserem Universum unter sehr allegemeinen und physikalisch naheliegenden Bedingungen vorher. Ein Hauptziel dieses Projektes war die Verallgemeinerung dieses Theorems auf Raumzeiten niedriger Regularität, eine Frage die bereits Hawking und Ellis in den siebziger Jahren des 20. Jahrhunderts aufgworfen hatten. Dieser Teil des Projektes wurde erfolgreich abgeschlossen: Es gelang zu zeigen, dass das Resultat auch unter schwächeren Annahmen an die Regularität der zugrundeliegenden Raumzeit-Metrik seine Gültigkeit behält, also die Entstehung von Singularitäten auch in dieser allgemeineren Situation generisch ist. Unser Beweis erforderte die Entwicklung neuer mathematischer Techniken in der Lorentzgeometrie. Dies betrifft insbesondere die sogenannte Vergleichsgeometrie (Comparison Geometry), wo wir neue Wege fanden, Fokussierungseffekte von Geodäten in singulären Raumzeiten zu berechnen, die schließlich zu den oben genannten Singularitäten führen. Motiviert durch den Erfolg im ersten Teil des Projektes entwickelten wir daran anschließend einen neuen Zugang zum Begriff der Krümmung in Raumzeiten sehr niedriger Regularität. Dies wurde erreicht durch die Einführung des Konzeptes der Lorentz-Längenräume. Es handelt sich dabei um mathematische Räume, die bedeutend allgemeiner sind ald differenzierbare Mannigfaltigkeiten, die in der klassischen allgemeinen Relaticitätstheorie und der Differentialgeometrie verwendet werden, um unser Universum mathematisch zu beschreiben. In dieser neuen Theorie wird, ähnlich zu ihrem metrischen Vorläufer (der Theorie der Alexandrovräume) Krümmung durch Vergleich von Dreiecken im Längenraum mit solchen in Modellräumen konstanter Krümmung gemessen. Die Rolle der Metrik wird dabei von der Zeit-Distanz-Funktion übernommen, die in der allgemeinen Relativitätstheorie die Länge eines Pfades maximaler Länge zwischen zwei Ereignissen misst (im Gegensatz zum metrischen Setting, wo man an kürzesten Distanzen interessiert ist). Die dahinter stehende Idee dieser Betonung der Zeit-Distanz-Funktion ist das sie die Länge desjenigen Pfades angibt, dem ein Lichtstrahl oder ein Beobachter in der Raumzeit folgt. Ein weiterer Hauptzweig des Projektes widmete sich dem Studium physikalisch relevanter Raumzeiten niedriger Regularität, nämlich den sogenannten impulsiven Gravitationswellen. Solche Raumzeiten sind theoretische Modelle von kurzen aber extrem starken Ausbrüchen von Gravitationsstrahlung und werden von Metriken niedriger Regularität beschrieben, stellen also ideale Testfälle für die im Projekt entwickelten Methoden dar. Darüber hinaus haben wir uns auch mit der Entwicklung neuer mathematischer Methoden zum Studium von Observablen in Quantenfeldtheorien niedriger Regularität beschäftigt.