Unendliche Quantengraphen

DieEntwicklung derklassischenSpektraltheorie (dieTheorie selbstadjungierterOperatoren in einemHilbertraum) steht in engem Zusammenhang mit der Quantenmechanik: ein Phasenraum ist ein Hilbertraum und jede beobachtbare Größe ist durch einen linearen selbstadjungierten Operator in diesemRaumgegeben. Der Grundsteinderklassischen Spektraltheorie ist der Spektralsatz, welcher es erlaubt selbstadjungierte Operatoren in ihre einfachsten Bestandteile zu zerlegen. Während der letzten zwei Jahrzehnte entwickelten sich Quantengraphen aufgrund ihrer zahlreichen Anwendungen in der mathematischen Physik, der Chemie, der Nanotechnologie und den Ingenieurwissenschaften zu einem sehr populären Gebiet. Darüber hinaus sind sie auch von Interesse, weil sie ein gutes Beispiel darstellen um komplizierte Eigenschaften von Quantensystemen zu untersuchen. Sie weisen gemischt-dimensionale Eigenschaften auf, da sie zwar lokal eindimensionalsind, aberglobal aufviele verschiedeneArten mehrdimensionalsein können.Eine der Standardbeschränkungen an die Geometrie des Graphen ist das Vorhandensein einer positiven unteren Grenze für die Länge der Kanten. Diese Einschränkung schließt offensichtlich eine Reihe von interessanten Modellen aus. In ihren geometrischen Eigenschaften sind Graphen in diesem Fall Fraktalen sehr ähnlich. Eines unserer vorrangigen Ziele ist die Spektralanalyse von Quantengraphen ohne dieser Standardeinschränkung.

Während der letzten zwei Jahrzehnte entwickelten sich Quantengraphen aufgrund ihrer zahlreichen Anwendungen in der mathematischen Physik, der Chemie, der Nanotechnologie und den Ingenieurwissenschaften zu einem sehr populären Gebiet. Darüber hinaus sind sie auch von Interesse, weil sie ein gutes Beispiel darstellen um komplizierte Eigenschaften von Quantensystemen zu untersuchen. Sie weisen gemischt-dimensionale Eigenschaften auf, da sie zwar lokal eindimensional sind, aber global auf viele verschiedene Arten mehrdimensional sein können. Eine der Standardbeschränkungen an die Geometrie des Graphen ist das Vorhandensein einer positiven unteren Grenze für die Länge der Kanten. Diese Einschränkung schließt offensichtlich eine Reihe von interessanten Modellen aus. In ihren geometrischen Eigenschaften sind Graphen in diesem Fall Fraktalen sehr ähnlich. Eines unserer vorrangigen Ziele ist die Spektralanalyse von Quantengraphen ohne dieser Standardeinschränkung. Unser Hauptresultat ist die Entdeckung von Zusammenhängen zwischen grundlegenden spektralen Eigenschaften von Kirchhoff Laplace-Operatoren auf metrischen Graphen und einer besonderen Klasse von gewichteten Graph-Laplace-Operatoren. Letztere sind jedoch im Allgemeinen unbeschränkt wenn die Kanten des zugehörigen metrischen Graphen beliebig kurz sein können. Diese Verbindung hat sich als äußerst ergiebig erwiesen. Einerseits wurden in der Theorie gewichteter Graph-Laplace-Operatoren im letzten Jahrzehnt große Fortschritte erzielt und wir haben diese Resultate verwendet, um Laplace-Operatoren auf metrischen Graphen zu untersuchen. Andererseits entsprechen Laplace-Operatoren auf metrischen Graphen stark lokalem Dirichletformen im Rahmen der Theorie von Dirichletformen. Daher führen die entdeckten Zusammenhänge zu einer neuen Perspektive auf die jüngeren Entwicklungen im Bereich der gewichteten Graph-Laplace-Operatoren und insbesondere zu neuen, alternativen Beweisen.