Lösen bilinearer inverser Probleme mit tensoriellem Lifting

Eine der häufigsten Fragen in der Wissenschaft ist Was hat diesen Effekt verursacht?. Der Effekt ist dabei üblicherweise eine beobachtbare Größe, d.h. das Ergebnis einer Messung. Zum Beispiel, bei der Messung der Temperatur mithilfe eines Thermometers stellt sich im Grunde die Frage Welche Temperatur verursachte diese Ausdehnung des Quecksilbers?. Die gemessene Größe ist dann die Länge der Quecksilbersäule. Um diese Frage zu beantworten, benötigt man eine Verbindung zwischen der Temperatur und der Länge, also ein Modell. Schon ein Blick auf ein Thermometer zeigt, dass die Ausdehnung proportional zur Temperatur ist. Ein solches Modell wird auch linear genannt. Formal wird also gefragt Welche Werte der Parameter eines Modells führen zu den gemessenen Daten? Dieses Projekt strebt danach, diese Frage für Modelle zu beantworten, welche von einem Paar von Parametern abhängen, die jeweils proportional in die Daten eingehen. Diese werden in der Mathematik bilineare inverse Probleme genannt. Bei einer Kamera, zum Beispiel, haben sowohl das einfallende Licht, wie auch die Verzerrung der Linse proportionalen Einfluss auf das resultierende Bild. Die Lösung bilinearer inverser Probleme ist besonders herausfordernd, wenn das Modell dazu neigt, ähnliche Daten für wesentlich unterschiedliche Parameter zu produzieren. Das bei der realen Messung der Daten unvermeidbare Rauschen schränkt dann stark die Möglichkeit ein, die für die Daten verantwortlichen, tatsächlichen Parameter zu rekonstruieren. Unglücklicherweise, ist diese Art von Modellen sehr verbreitet in modernen Messtechniken der Medizin, den Ingenieur- und Naturwissenschaften. Das Hauptziel dieses Projekts ist es, mit mathematischer Stringenz, eine allgemein anwendbare Sammlung an Werkzeugen zur Lösung solcher Probleme bereitzustellen. Dies beginnt mit der genauen Untersuchung der Eigenschaften bilinearer Probleme und mündet in der Entwicklung von Hilfsmitteln welche von den Anwendern für deren Lösung gebraucht werden. Der innovative Kern des Projekt ist die Kombination dreier Ideen: Die Hauptidee und -methode ist zu bemerken, dass alle Paare von Parametern auch als spezielle Fälle eines einzelnen Parameters in einer größeren Menge aufgefasst werden können. Wenn diese Menge geeignet gewählt wird, wird das Problem linear auf dieser Menge. Dieser Prozess, tensorielles Lifting genannt, macht das Problem deutlich zugänglicher. Das entstehende Problem kann jedoch immer noch sehr herausfordernd sein. Daher, als zweite Zutat, verändern wir das Problem so, dass diese Veränderung keine oder nur kleine Änderungen der entstehenden Rekonstruktionen bewirkt. Dieser Ansatz wird Relaxation genannt. Schließlich, im dritten Teil, werden die in diesem Projekt gewonnen Erkenntnisse in Form neuer Löser - welche auf die Bedürfnisse der Anwender von bilinearen Problemen zugeschnitten sind - in Anwendung gebracht.

Eine der häufigsten Fragen in der Wissenschaft lautet: "Was hat diesen beobachteten Effekt verursacht?". Wenn man zum Beispiel die Temperatur mit einem Thermometer misst, stellt man im Grunde die Frage: "Welche Temperatur hat die beobachtete Ausdehnung des Quecksilbers verursacht?". Die gemessene Größe ist dann die Länge der Quecksilbersäule. Um diese Frage zu beantworten, braucht man einen Zusammenhang zwischen der Temperatur und der Länge der Säule, also ein Modell. Schon ein Blick auf ein Thermometer zeigt, dass die Ausdehnung proportional zur Temperatur ist. Ein solches Modell wird als linear bezeichnet. Formal wird also gefragt "Welche Werte der Parameter eines bekannten Modells führen zu den gemessenen Daten?". Dieses Projekt strebte danach, diese Frage für Modelle zu beantworten, welche von einem Paar von Parametern abhängen, die jeweils proportional in die Daten eingehen. Diese werden in der Mathematik bilineare inverse Probleme genannt. Bei einer Kamera zum Beispiel haben sowohl das einfallende Licht, wie auch die Verzerrung der Linse proportionalen Einfluss auf das resultierende Bild. Die Lösung bilinearer inverser Probleme ist besonders herausfordernd, wenn das Modell dazu neigt, ähnliche Daten für wesentlich unterschiedliche Parameter zu erzeugen. Das bei der realen Messung der Daten unvermeidbare Rauschen schränkt dann stark die Möglichkeit ein, die für die Daten verantwortlichen, tatsächlichen Parameter zu rekonstruieren. Unglücklicherweise ist diese Art von Modellen sehr verbreitet in modernen Messtechniken der Medizin, den Ingenieur- und Naturwissenschaften. Das Hauptziel des Projekts war es, mit mathematischer Stringenz eine neue allgemein anwendbare Sammlung an Werkzeugen zur Lösung solcher Probleme bereitzustellen. Dies begann mit der genauen Untersuchung der Eigenschaften bilinearer Probleme und mündete in die Entwicklung von Hilfsmitteln, welche von den Anwendern für deren Lösung gebraucht werden. Der Kern der Projektergebnisse bestand darin, drei Aspekte erfolgreich zu kombinieren: Erstens wurde die entscheidende Beobachtung ausgenutzt, dass alle Paare von Parametern als Spezialfälle eines einzigen Parameters innerhalb einer allgemeineren Menge aufgefasst werden können. Das Problem wird in dieser allgemeinen Menge linear bezüglich des einzelnen Parameters, wodurch es viel leichter zu handhaben ist. Dieser Prozess wird tensorielles Lifting genannt und war die wichtigste Technik, die zur Erzielung der Projektergebnisse eingesetzt wurde. Da die Lösung der daraus entstehenden Probleme immer noch sehr herausfordernd sein kann, wurde als zweiter Aspekt eine geringfügige Veränderung des Problems, die so genannte Relaxation, betrachtet, von der bekannt ist, dass sie in vielen Situationen nur kleine Änderungen der entstehenden Rekonstruktionen bewirkt. Als dritter Aspekt wurden schließlich die in diesem Projekt entwickelten mathematischen Erkenntnisse in neuartige Algorithmen übertragen, die auf die Bedürfnisse von Anwendern von bilinearen Problemen zugeschnitten sind und in Form von neuen Lösern zur Anwendung gebracht.