Längenmengen in Krullmonoiden

Aus dem Schulunterricht ist der Fundamentalsatz der Arithmetik bekannt: Jede naturliche Zahl laßt sich eindeutig als Produkt von Primzahlen darstellen. Primzahlen sind (multiplikativ) unzerlegbare Zahlen (auch Atome genannt), also zum Beispiel 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, .... Das Studium der Primzahlen ist ein klassischen Teilgebiet der Reinen Mathematik, deren Ergebnisse in der Kodierungstheorie und Kryptographie unverzicht- bar sind. Nun gibt es in der Mathematik viele Bereiche, in denen man - wie in den naturlichen Zahlen - die Objekte (Elemente) des Bereiches aus Atomen zusammensetzen kann, allerdings geht die Eindeutigkeit im allgemeinen verloren. Bei diesen Bereichen kann man an allgemeinere Bereiche von Zahlen (Stichwort: ganze algebraische Zahlen), oder von Funktionen, oder auch von verall- gemeinerten Vektorraumen denken (jeder endlich dimensionale Vektorraum laßt sich als Summe von eindimensionalen Vektorraumen darstellen; die Atome sind in diesem Falle die eindimen- sionalen Vektorraume). In dem vorliegenden Projekt werden recht allgemeine Bereiche untersucht, und zwar Krull- monoide mit endlicher Klassengruppe. Zerlegungen sind eindeutig genau dann, wenn wie bei den naturlichen Zahlen die Klassengruppe einelementig ist. Im allgemeinen konnen Klassen- gruppen aber beliebig groß werden. Besitzt nun ein Element a in einem Krullmonoid H eine Zerlegung in k Atome, so nennt man k die Lange der Zerlegung und die Langenmenge L(a) ist die Menge aller moglichen Zerlegungslangen. Langenmengen sind alle endlich, aber sie konnen beliebig groß werden. Ihre Struktur gibt uns Informationen, wie beliebige Elemente aus Atomen zusammengesetzt werden konnen. Fur ein festes Krullmonoid H untersuchen wir nun nun das (unendliche) System L(H) = {L(a) | a H} der Langenmengen von allen Elementen. Dafur verwenden wir Methoden aus der Additiven Kombinatorik. 1

Aus dem Schulunterreicht ist der 'Fundamentalsatz der Arithmetik' bekannt. Dieser lautet bekanntlich folgendermaßen: Jede positive ganze Zahl läßt sich eindeutig als Produkt von Primzahlen darstellen. Primzahlen sind (multiplikativ) unzerlegbare Zahlen (auch Atome genannt), wie zum Beispiel 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, und 19. Das Studium der Primzahlen ist ein klassisches Teilgebiet der Reinen Mathematik, deren Resultate aber andererseits in Kodierungstheorie und Kryptographie unverzichtbar sind. Es gibt viele Bereiche in der Mathematik in denen sich, gleich wie in den positiven ganzen Zahlen, die Objekte (Elemente) in unzerlegbare Elemente (Atome) zerlegen lassen. Im allgemeinen brauchen solche Faktorisierungen (Zerlegungen) in Atome nicht mehr eindeutig zu sein. Wenn wir hier über Bereiche sprechen, so haben wir allgemeinere Bereiche von Zahlen vor Augen (Stichwort: algebraisch ganze Zahlen), oder auch Bereiche von Funktionen, ebenso wie verallgemeinerte Vektorräume (jeder endlich dimensionale Vektorraum kann in ein-dimensionale Vektorräume zerlegt werden; in diesem Fall sind die Atome die ein-dimensionalen Vektorräume). In diesem Projekt wurden sehr allgemeine Bereiche untersucht, nämlich Krullmonoide mit endlicher Klassengruppe. Faktorisierungen in Krullmonoiden sind genau dann eindeutig (so wie bei den positiven ganzen Zahlen), wenn die Klassengruppe nur aus einem Element besteht. Allerdings können Klassengruppen beliebig groß werden. Hat nun ein Element x in einem Krullmonoid eine Faktorisierung in k Atome, so heißt k eine Faktorisierungslänge, und die Menge aller möglichen Faktorisierungslängen heißt Längenmenge von x. Diese Längenmengen sind allesamt endlich, können aber beliebig groß werden. Ihre Struktur gibt uns Auskunft darüber, wie Elemente in Atome zerlegt werden können. In unserem Projekt haben wir moderne Methoden aus der Algebra, Zahlentheorie, und der Kombinatorik verwendet. Unter anderem haben wir diejenigen Krullmonoide charakterisiert, deren Längenmengen arithmetische Progressionen sind.