Verallgemeinerte Zahlensysteme und ihre Dynamik

Unter Beta-Entwicklungen versteht man verallgemeinerte Stellenwertsysteme bezügliche einer nicht notwendigerweise ganzzahligen Basis. Im vorliegenden Projekt interessieren wir uns vor allem für die induzierten Ziffernsequenzen. Diese bilden ein symbolisches dynamisches System über der (endlichen) Menge der Ziffern. Im klassischen Fall, unter Verwendung von nicht negativen Ziffern, sind diese sogenannten Beta-Shifts bereits in unzähligen Forschungsarbeiten behandelt worden. Es ist bekannt, dass im Falle eines sogenannten sofic Shifts eine Verbindung zu substitutiven dynamischen Systemen besteht. Beta-Entwicklungen lassen sich auf ganz unterschiedliche Weise verallgemeinern, beispielsweise durch das Zulassen negativer Ziffern. Als Stichworte seien hier symmetrische Beta-Entwicklungen erwähnt. Dieses Thema erfreut sich einem immer größer werdenden Interesse. Allerdings ist bis jetzt noch kein Zusammenhang zwischen den induzierten verallgemeinerten Beta-Shifts mit substitutiven dynamischen Systemen bekannt. Als primäre Zielsetzung des vorliegenden Projekts soll nachgewiesen werden, dass es diese Verbindungen sehr wohl gibt. Wir wollen sie genau beschreiben und die Auswirkungen in verschiedene Richtungen erforschen. Ein zweiter Punkt des Projekts betrifft Tent Maps. Unter einer Tent Map verstehen wir eine aus zwei linearen Teilen stetig zusammengesetzte Funktion, die das Einheitsintervall auf sich selbst abbildet. Hier zeigen neueste Forschungen erstaunliche Relationen mit verallgemeinerten Beta-Entwicklungen. Im Rahmen des Projekts sollen einerseits verschiedene Verallgemeinerungen betrachtet werden, zum Beispiel drei-teilige Tent Maps, andererseits möchten wir passende geometrische (fraktale) Darstellungen definieren und untersuchen.

Das Projekt befasste mit verschiedenartigen verallgemeinerten Zahlensystemen, also der Darstellung von Zahlen und Zahlenmengen. Solche Untersuchungen sind stets eng mit dynamischen Systemen verbunden. Als erstes soll hier die Darstellung von ganzen Zahlen erwähnt werden. Hier verallgemeinern wir die sogenannte Dumont-Thomas Darstellung. Diese basiert auf substitutiven dynamischen Systemen und ist eng mit Darstellungen bezüglich linearer Rekursionen verbunden. Unsere Verallgemeinerung berücksichtigt auch negative ganze Zahlen, welche bei der klassischen Dumont-Thomas Darstellung nicht vorkommen. In diesem Zusammenhang interessieren wir uns auch für Darstellungen bezüglich alternierender linearer Rekursionen wie etwa der sogenannten negaFibonacci Darstellung von Knuth. Es lassen sich auch (positive) reelle Zahlen mit Hilfe von Substitutionen darstellen. Diese reelle Version der Dumont-Thomas Darstellung bildet die Verbindung von substitutiven dynamischen Systemen und Beta-Entwicklungen. In einer weiteren Arbeit verallgemeinern wir diese reelle Dumont-Thomas Darstellung und zeigen damit, dass Substitutioen auch eng mit verallgemeinerten Beta-Entwicklungen verbunden sind. Ein weiterer Artikel beschäftigt sich sich mit der Darstellung komplexer Zahlen. Hier wurde mit der Zeta-Darstellung eine komplexe Version der (reellen) Beta-Darstellung präsentiert und untersucht. Es stellt sich heraus, dass sich viele Eigenschaften der beta-Darstellung in der einen oder anderen Art auf die Zeta-Darstellung übertragen lassen. Besonders überraschend ist die Verbindung mit sogenannten Shift Radix Systemen. Ein weiterer Themenkomplex des Projekts sind geometrische Repräsentationen von dynamischen Systemen. Diese haben meist eine fraktale Struktur und sind auch von populärwissenschaftlichem Interesse. Konkret studieren wir einerseits Rauzy-Fraktale, die ihren Ursprung in substitutiven dynamischen Systemen haben. Hier untersuchen wir den (mengentheoretischen) Durchschnitt von Rauzy-Fraktalen substitutiver dynamischer Systeme mit gleicher Inzidenzmatrix. Andererseits interessieren wir uns für Fraktale von sogenannten Tent-Maps, das sind aus zwei linearen Teilen stetig zusammengesetzte Funktionen, die das Einheitsintervall auf sich selbst abbilden.