Weyl-Theorie: Verfahren, Stabilität, Steuerung, Anwendungen

Dieses Projekt ist eine Fortsetzung des Projektes P 24301. Im Folgenden werden die Hauptaufgaben des Projektes beschrieben. Als Erstes beabsichtigen wir eine Weiterentwicklung von den aktuellen Weyl (WeylTitchmarsh) theoretischen Resultaten im Bereich der diskreten und stetigen Gleichungen, welche entweder direkt im Rahmen des Projektes P 24301 erzielt wurden oder in nahen Verbindung mit den Resultaten des Projektes stehen. Insbesondere haben wir vor, die Verfahren für die Lösungen von inversen Problemen mit kürzlich erhaltenen Eindeutigkeitsresultaten zu suchen, inklusive die Verfahren für Gleichungen mit Singularitäten und für verschiedene (diskrete und stetige) Verallgemeinerungen von Dirac und Schrödinger Gleichungen und von kanonischen Systemen. Die wichtigste Innovation der geplanten Forschung ist verbunden mit der Untersuchung der Stabilität und mit der Regularisierung der inversen Problemen von WeylTheorie sowie mit den Anwendungen der weyltheoretischen Methoden auf dynamische Systeme. Einige unserer Beispiele sind im Antrag gegeben und wir vermuten, dass deren weitgehende Verallgemeinerungen und Entwicklungen möglich sind. Viele inverse Probleme sind unstabil und ihre Regularisierung ist notwendig für die Anwendungen. Durch die Zustandsraummethode, die Methode von Operatoridentitäten und die Riccati Gleichungen, werden wir bestimmte Klassen von Gleichungen untersuchen um die Klassen von den Gleichungen mit stabilen Verfahren für die Lösungen von inversen Problemen zu finden. Im Weiteren werden wir die Regularisierungen für solche Fälle in Betracht ziehen, bei denen die Verfahren für das Lösen von inversen Problemen von WeylTheorie unstabil sind. Wir werden die Verbindungen zwischen WeylTheorie und Randsteuerungmethode für dynamische Dirac and Schrödinger Gleichungen (und für die Verallgemeinerungen von solchen Gleichungen) studieren. Als Resultat, erwarten wir, die Verfahren für die Wiedererlangung dynamischer Systeme aus den Antwortfunktionen für den Fall der expliziten Lösungen zu entwickeln. Wir werden auch neue generelle Verfahren für die Wiedererlangung dynamischer Dirac und Schrödinger Systeme erhalten und diese ebenfalls für andere wichtige dynamische Systeme modifizieren. Durch die Verwendung von Evolutionsformeln der Weylsche Funktionen werden wir die Anfangs- Randwertprobleme für die integrierbaren Wellengleichungen weiterstudieren. Diese Probleme sind meistens überdeterminiert. Wir werden den Schwerpunkt auf die Fälle, in denen die Randwertbedingungen eindeutig durch die Anfangsbedingungen (oder umgekehrt) bestimmt sind, setzen. Wir erwarten auch Resultate im Bereich der Optimalen Steuerung für diese Fälle. Wir beabsichtigen unsere verallgemeinerte Version von BäcklundDarboux-Transformation (GBDT) zu verwenden um explizite Lösungen der inversen Problemen und verschiedene explizite (sogenannte "Multipole") Lösungen der nichtlinearen integrierbaren Gleichungen zu erhalten und zu studieren. Die oben genannte Aufgaben werden auch neue wichtige Ergebnisse in den verwandten Gebieten der Invertierung Operatoren, Interpolation, Faktorisierung, Riccati Gleichungen, spektralen Theorie der Funktionen von (S+N)-Dreiecksoperatoren und in der sogenannten Intervall-Stabilität erzielen.

Das Projekt befasst sich mit der Weiterentwicklung der Titchmarsh-Weyl (Weyl) Theorie der klassischen und nicht-klassischen Systeme (das erste Ziel des Projekts), mit der Stabilität des Lösens inverser Probleme (das zweite Ziel) sowie mit interessanten Verbindungen mit dynamischen Systemen (das dritte Ziel). Wir erreichten wesentlichen Fortschritt in der Entwicklung der Weyl-Theorie. Insbesondere wurde die A-Funktion Theorie generalisiert und weiterentwickelt. In den wegweisenden Artikeln von B. Simon und Gesztesy-Simon wurde diese Theorie (mit Wurzeln in den brillanten Notizen von M.G. Krein) zuvor für skalare Schrödinger Gleichungen entwickelt. Wir führten ein und studierten die A-Gleichung für Dirac Systeme mit rechteckigen Weylschen Matrixfunktionen. Zudem zeigten wir für allgemeine selbstadjungierte und schiefselbstadjungierte Dirac Systeme, dass Weylfunktionen die einzigen analytischen Erweiterungen der Reflexionskoeffizienten sind. Außerdem wurden diskrete Dirac Systeme studiert. Zahlreiche Resultate - direkte, inverse, spektrale sowie gestreute - folgten. Die Fälle von Singularitäten (bei null und unendlich) wurden berücksichtigt. Wichtige Resultate über fundamentale Lösungen und Weylfunktionen für kanonischen Systeme (mit 2p 2p Hamiltonians H(x)) wurden hergeleitet. Unser Artikel über Toeplitz-block Toeplitz Matrizen, über die Struktur von ihren Inversen, und über die Wiederherstellung der entsprechenden Reflexionskoeffizienten aus gewissen minimalen Informationen ist in "Transactions of AMS" veröffentlicht und ist von Interesse für Signalbearbeitung. Inverse Probleme sind (in Allgemeinen) schlecht gestellt. Allerdings bewiesen wir, dass unsere Methoden von der expliziten Lösung der inversen Probleme für Dirac Systeme (selbstadjungierte und schiefselbstadjungierte, diskrete und stetige) nach gewissen Modifikationen stabil sind. Die Methoden der Steuerungstheorie und Systemtheorie wurden aktiv benutzt. Die Verbindungen zwischen dynamischen und spektralen Dirac Systemen und zwischen entsprechenden Reaktion- und Weylfunktionen wurden nachgewiesen. Unsere GBDT Version der Darbouxabbildung stellte sich als hervorragendes Instrument für die Entwicklung von expliziten Lösungen für wichtige dynamische Systeme heraus. Alle drei Projektziele wurden erreicht. Überdies wurden erfolgversprechende neue Methoden gefunden. Außerdem erhielten wir wichtige und unerwartete zusätzliche Resultate zu zusammenhängenden Themen. Der Projektleiter A.L. Sakhnovich veröffentlichte, allein und mit Mitautoren, 23 Artikel in hochwertigen internationalen Ausgaben. Zwei weitere Artikel erschienen in arXiv und wurden bei angesehenen Zeitschriften eingereicht. Das Projekt förderte teilweise drei zusätzliche Artikel von Dr. O.R. Popovych. Die Resultate wurden bei verschiedenen Seminaren und Konferenzen (einschließlich eingeladene Vorträge, Plenarvorträge und eine eingeladene Vorlesungsreihe) präsentiert. Einige Resultate wurden in bekannten Zeitschriften zu Physik und angewandter Mathematik veröffentlicht, darunter auch unsere Ergebnisse mit graphentheoretischen Bezug. Das Projekt förderte die aktive und gewinnbringende Zusammenarbeit mit unseren Mitautoren, Kooperationspartnern und Kollegen aus Deutschland, den Niederlanden, Japan, Großbritannien und den USA. Die resultierenden neuen Methoden und Entwicklungen wurden aktiv in unserem nächstem Research Proposal verwendet.