Garben von Kategorien und ihre Anwendungen

In den letzten drei Jahren hat die Forschungsgruppe von L. Katzarkov in Wien mehrere interessante Verbindungen zwischen Kategorientheorie und Geometrie hergestellt. Diese Zusammenhänge haben zu mehreren neuen Konzepten geführt die von geometrischer Natur sind und tiefe kategorientheoretische Bedeutung besitzen. Dazu gehören die Stabilitätshodgestrukturen und die verallgemeinerten Landau-Ginzburg (LG) Modelle, welche keine Beschreibung durch ein Potential erlauben. Dieses Vorhaben skizziert ein Programm dessen Hauptziele folgende sind: 1. Entwicklung einer allgemeinen Theorie der Koeffizientensysteme für Fukayakategorien - dies sind die im Titel genannten Garben von Kategorien 2. Anwendung der Theorie zur Erforschung der symplektischen Geometrie von verallgemeinerten LG-Modellen 3. Entwicklung der Theorie von Stabilitätshodgestrukturen, sowie Untersuchung von geometrischen Beispielen welche mit der Theorie der Garben von Kategorien in Zusammenhang stehen 4. Kategorifizierung des neuen Zugangs zur stabilen Rationalität von Voisin, Colliott-Thélène, Pirutka und Totaro mittels der Theorie der Garben von Kategorien, sowie die Untersuchung mehrerer Anwendungen zu langjährigen Fragestellungen in der klassischen algebraischen Geometrie. Dieses Projekt wird an der Universität Wien in Zusammenarbeit mit C. Simpson (Nizza) und M. Kontsevich (IHES) durchgeführt werden. Um jüngere Forscher in das Gebiet einzuführen und unsere Ergebnisse zu disseminieren, planen wir ein ESI Programm über klassische und kategorientheoretische Ansätze zur stabilen Rationalität im Frühling 2017. Dieses Programm wurde bereits bewilligt. Die Zusammenarbeit zwischen Pandit, Katzarkov, Simpson, und Kontsevich hat sich in der Vergangenheit als bewährt gezeigt. Die Synergie zwischen diesen Forschern wird zu einer Stärkung des Wiener Standorts als Zentrum für moderne Kategorientheorie beitragen.

Das Konzept des Zählens gehört zu den ältesten in der Mathematik und spielt eine zentrale Rolle. Der Begriff der Kategorie wurde im 20. Jahrhundert eingeführt und ist nicht weniger wichtig. Grothendieck, Kontsevich et al. haben mit letzterem eine neue Art von Geometrie erfunden, die sogenannte nichtkommutative algebraische Geometrie. Durch die Stringtheorie motiviert, formulierte Kontsevich eine bemerkenswerte Äquivalenz zwischen Kategorien, die als Homologische Spiegelsymmetrie (HMS) bezeichnet wird. HMS wiederum liefert Erkenntnisse für Physik und Mathematik. Das Projekt bietet eine neue Sichtweise auf HMS als Korrespondenz zwischen sogenannten perversen Garben von Kategorien und holomorphen Daten von Stabilitätsbedingungen zu holomorphen Familien von Kategorien und perversen Garben von Stabilitätsbedingungen. Im Jahr 2018 wurde der PI von Ludmil Katzarkov auf George Dimitrov geändert. Der PI und der Ex-PI verfolgen einen neuen Ansatz, indem sie die Stabilitätsbedingungen durch eine große Klasse neuer kategorialer Invarianten ersetzen: nichtkommutative Zählinvarianten und kategoriale Versionen von Kurvenkomplexen. Dies ist ein Programm, das vom neuen PI, im Rahmen von Zusammenpublikationen mit dem Ex-PI, initiiert wurde. Leitidee dieses Programs ist eine neuartige Anwendung des Zählkonzepts im kategorialen Kontext. Die nichtkommutativen Zählinvarianten sind, grob gesagt, Mengen von Unterkategorien in bestimmten Kategorien und deren Quotienten. Diese Mengen enthalten zusätzliche Strukturen: Ordnungsrelation und einen gerichteten Graphen. Die Berechnung dieser Invarianten zeigt bisher Zusammenhänge mit Kombinatorik, Zahlentheorie und klassischer Geometrie. Zum Beispiel hat das nichtkommutative Zählen in einigen primären Fällen eine geometrische kombinatorische Parallel: Zählen von Abbildungen zwischen Polygonen. Durch die nichtkommutative Zählung in einer Kategorie, die sich auf die komplexe projektive Ebene bezieht, erhielt der PI Endlichkeit und zeigte, dass das Abschließen des Zählproblems der Lösung eines alten offenen Problems aufgrund von Markov gleichwertig ist: Gibt es zwei unterschiedliche Lösungen (x1, y1, z1) N3, (x2, y2, z2) N3 der Diophantine-Gleichung x^2 + y^2 + z^2 = 3xyz mit max{x1, y1, z1} = max{x2, y2, z2}? Zusammenfassend, im Rahmen deises Proketes eröffnet das Konzept von nicht kommutative Zählung ein neues Kapitel in nicht kommutativer Geometrie und neue Verbindungen auf zu klassischen Disziplinen.