Regularisierungsgraphen für variationelle Bildverarbeitung

Unsere Wahrnehmung der Welt ist zu großen Teilen visuell. Bilder, die Manifestation dieser Wahrnehmung, sind ein wesentlicher Bestandteil der menschlichen Kultur. Moderne Technologie erlaubt es, Bilder digital aufzunehmen, zu verarbeiten und zu speichern. Dies bereitet den Weg für Bildverarbeitung als wissenschaftliche Disziplin. Als solche beeinflusst sie zunehmend unseren Alltag: Sie spielt eine wichtige Rolle bei digitaler Foto- und Videotechnologie, mit der wir zum Beispiel unsere Urlaubserinnerungen aufzeichnen, und ist ein wesentlicher Bestandteil moderner diagnostischerVerfahren der Medizin, wieComputertomographie (CT) und Magnetresonanzbildgebung (MRI). Mathematische Bildverarbeitung als wissenschaftliche Disziplin umfasst unter anderem die Übersetzung von aufgenommenen Daten in eine sinnvolle visuelle Darstellung. Diese Aufgabe ist bei Weitem nicht trivial, insbesondere dann, wenn kein direkter Zusammenhang zwischen aufgenommenen Daten und visueller Darstellung besteht. Bei tomographischen Verfahren wie CT und MRI, wo es darum geht, ein Bild vom Inneren des Körpers zu erzeugen, ist dies der Fall. Zusätzliche Schwierigkeiten ergeben sich, wenn Messungen verrauscht oder unvollständig sind. Deren Übersetzung zu einem klaren, präzisen Bild, zum Beispiel des menschlichen Herzens, benötigt moderne Mathematik und ist eine anspruchsvolle Forschungsaufgabe. Variationelle Methoden in der Bildverarbeitung leisten einen wesentlichen Beitrag zum Fortschritt bei der Lösung solcher Aufgaben. Sie basieren auf mathematischen Modellen, die in Computerprogramme übertragenwerden können,welche die eigentlichen Rechnungen durchführen. Diese Modelle beinhalten sowohl den Zusammenhang zwischen gemessenen Daten und dem zu erzeugenden Bild, als auch eine abstrakte Beschreibung der qualitativen Eigenschaften dieses Bildes. Letzteres wird Regularisierung genannt und ist der Schlüssel, um Schwierigkeiten mit verrauschten sowie unvollständigen Daten zu überwinden. Die Wahl einer geeigneten Regularisierung ist anspruchsvoll und stellt den entscheidenden Faktor für den Erfolg einer Methode dar. Ist allerdings ein guter Regularisierungsansatz einmal entwickelt, gibt es breite Anwendungsmöglichkeiten. In MRI zum Beispiel kann so eine Bildrekonstruktion aus nur 10 % der üblicherweise benötigten Daten erfolgen, was eine wesentlich kürzere Aufnahmezeit ermöglicht. Ohne Regularisierung ließen sich solche Resultate nicht erreichen, entsprechende Forschung ist daher ein wichtiges Thema der mathematischen Bildverarbeitung. In den letzten Jahren konnten große Fortschritte mit scheinbar sehr unterschiedlichen Regularisierungsansätzen erzielt werden. Deren Erfolg ist jedoch auf sehr ähnliche grundlegende Strukturenzurückzuführen. Letztere beinhalten eingroßesPotential,aktuelle Forschungsergebnisse zu vereinheitlichen und zu erweitern. Das Ziel dieses Projektes ist es, Theorie und Anwendung einer solchen Vereinheitlichung sowie Erweiterung durch sogenannte Regularisierungsgraphen bereitzustellen. Es ist für einen einfachen Transfer zu konkreten Problemstellungen ausgelegt und soll dazu beitragen, die Grenzen des Möglichen in den Anwendungsfeldern der Bildverarbeitung zu verschieben. Dies könnte den Grundstein für konkrete Fortschritte in der Praxis legen, wie beispielsweise einer Verkürzung der Aufnahmezeit bei MRI derart, dass neue Echtzeit-Anwendungen möglich werden.

Das Projekt befasste sich damit, Fortschritte in der Regularisierungstheorie in der Bildgebung zu machen, einer mathematischen Theorie, die für die Lösung moderner Probleme der Bildrekonstruktion und -verarbeitung wegweisend ist. Die Ergebnisse umfassen die Etablierung des neuartigen Konzepts der "Regularisierungsgraphen", neue effiziente Algorithmen für die rechnergestützte Verarbeitung und Rekonstruktion von digital gespeicherten Bildern sowie innovative Anwendungen in der biomedizinischen Bildgebung und der Bildgebung im Nanobereich. Bilder als Ausdruck der visuellen Wahrnehmung sind ein wesentlicher Bestandteil des menschlichen Lebens. Mit der heutigen Technologie können Bilder digital erfasst, verarbeitet und gespeichert werden, was Bildgebung als wissenschaftliche Disziplin ermöglicht. Bildwissenschaften beeinflussen unser tägliches Leben, spielen eine Rolle in der digitalen Foto- und Videotechnik und sind ein wesentlicher Bestandteil moderner medizinischer Diagnosetechniken wie der Computertomographie (CT) und der Magnetresonanztomographie (MRT). Mathematische Bildgebung als wissenschaftliche Disziplin befasst sich mit der Übersetzung der gewonnenen Daten in eine aussagekräftige visuelle Darstellung. Diese Aufgabe kann sich als schwierig erweisen, insbesondere in Situationen, in denen keine direkte Beziehung zwischen der visuellen Darstellung und den gemessenen Daten besteht. Bei Tomographieanwendungen wie CT oder MRT, bei denen das Innere eines Körpers abgebildet werden soll, ist dies der Fall. Darüber hinaus ergeben sich Schwierigkeiten durch verrauschte oder unvollständige Messungen. Die Übersetzung in ein sauberes, genaues Bild, beispielsweise des Herzens eines Patienten, erfordert solide Mathematik und stellt ein anspruchsvolles Forschungsproblem dar. Sogenannte Variationsmethoden tragen wesentlich zum Fortschritt bei der Lösung solcher Probleme bei. Sie beruhen auf effizienten mathematischen Modellen, die in computerprogrammierbare Algorithmen übertragen werden können. Diese Modelle beinhalten die Beziehung zwischen Bild und Messungen, liefern aber auch eine abstrakte Beschreibung der qualitativen Eigenschaften. Letztere, die sogenannte Regularisierung, ist der Schlüssel zur Lösung der oben genannten Probleme. Ihre Wahl ist Gegenstand von Forschung, da sie der entscheidende Faktor für die Güte der Methode ist. Bei MRT ermöglicht beispielsweise geeignete Regularisierung eine Rekonstruktion mit deutlich reduzierter Scanzeit. Solche Ergebnisse wären sonst nicht möglich, was Regularisierungstheorie zu einem wichtigen Thema innerhalb der variationellen Bildgebung macht. In den vergangenen Jahren wurden mit scheinbar sehr unterschiedlichen Regularisierungsansätzen große Fortschritte erzielt. Die Effektivität dieser Ansätze beruht jedoch auf einer ähnlichen Grundstruktur, die als die im Rahmen des Projekts entwickelten Regularisierungsgraphen identifiziert werden konnte. Das Potenzial dieser Struktur bei der Vereinheitlichung und Erweiterung des Stands der Technik konnte ferner im Zuge des Projekts gezeigt werden. Die theoretischen und algorithmischen Fortschritte sind leicht in die Anwendung übertragbar und helfen Praktikern, die heutigen Grenzen der Rekonstruktion in verschiedenen Bereichen der Bildwissenschaften zu verschieben. Im Rahmen des Projekts wurden insbesondere Vorteile für die Elektronentomographie und die photoakustische Tomographie aufgezeigt, aber auch die Grundlagen für andere Anwendungen gelegt, z. B. eine Verringerung der Scanzeit in MRT, die neue Echtzeit-Bildgebung ermöglicht.